栈：矩阵的压缩存储

概念：

科学与工程计算有一个特殊的数学对象，那就是矩阵。如何将矩阵中的各个元素存储在计算机中，数组就是一个很好的选择。我们通常会遇到三种类型的矩阵：

• 普通矩阵
• 特殊矩阵：对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵等
• 稀疏矩阵

特殊

特殊矩阵和稀疏矩阵压缩存储的目的是节省存储空间。矩阵的下标是从1开始，而将改矩阵压缩成内存中的一维空间时，与该一维空间所对应的数组下标是从0开始。

1. 对称矩阵:

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11a21a31⋮ai1a12a22a32⋮ai2a13a23a33⋮ai3⋯⋯⋯⋱⋯a1ja2ja3j⋮aij⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

性质：

1. 在n阶矩阵A中的元素满足 ：aij = aji( 1≤ i , j≤n );
2. 压缩策略：只存储上三角或下三角的元素。所需空间n(n+1)2
3. 一维数组sa[n(n+1)2] 存储以行序为主序的下三角（包括对角线），其地址的运算，即aij和sa[k] 之间存在如下对应关系：
   k=⎧⎩⎨⎪⎪i(i−1)2+j−1,j(j−1)2+i−1,i ≥ j，对角线元素和下三角元素i < j，上三角元素

2. 上三角与下三角矩阵:

上三角矩阵：⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11mm⋮ma12a22m⋮ma13a23a33⋮m⋯⋯⋯⋱⋯a1ja2ja3j⋮aij⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

下三角矩阵：⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11a21a31⋮ai1ma22a32⋮ai2mma33⋮ai3⋯⋯⋯⋱⋯mmm⋮aij⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

3. 对称矩阵:

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11a210000a12a22a320000a23a33a430000a34a44a540000a45a55a650000a56a66⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

4. 稀疏矩阵:

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢00−3001512000180900240000000−70000000014000000000⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

性质：

1. 稀疏矩阵：零元素个数远远大于非零元素的个数。
2. 稀疏因子：在m × n的矩阵中，t个元素不为0，δ = tm×n，称δ为矩阵的稀疏因子。
3. 通常认为δ≤0.05时称为稀疏矩阵。

压缩存储方法：

1. 三元组顺序表（顺序存储结构）

   

#define MAXSIZE 12500//非零元素最大个数 typedef struct{     int i,j;//非零元素的行下标、列下标     elemtype e;}Triple;typedef struct{     Triple data[MAXSIZE+1];//data[0]未用 int mu,nu,tu;//行数、列数、非零元素个数 }TSMatrix;

1. 行逻辑连接的顺序表（链式存储结构）
   有时为了提高效率，可以随机存储任意一行的非0元素，这样，就需要知道每一行的第一个非0元素在三元组表中的位置。为此可以添加一个辅助数组来实现：

typedef struct{      Triple data[MAXSIZE+1];// data[0]未用      int rpos[MAXCO+1]// 各行第一个非零元的位置表,rpos [0]未用     int mu,nu,tu;//行数、列数、非零元素个数 }RLSMatrix; 

1. 十字链表（链式存储结构）
   将每行的非0元素组成一个链表，每列的非0元素组成一个链表。链表中的每个结点有5个域，有3个域与三元组中信息一样，保存行标、列标、元素值。剩下的2个域分别保存所在行下一个元素和所在列下一个元素。
   最后将行链表的头指针组成一个数组，将列链表的头指针组成另一个数组，这样就形成了一个十字交叉的链表。