关于双端队列优化多重背包问题的学习笔记

Problem：有n种物品，它们的重量和价值分别是wi和vi。现在要从中选出一些物品使得总重量不超过W，并且价值的和最大。第i种物品最多取mi个。

暴力算法分析：三重循环枚举物品，背包容量，物品个数。效率为O（nW∑mi)

组合数优化：如果用1，2.....2^k的组合来表示0到0~2^(k+1)-1的所有整数的话。

可以在O（nW∑ log2(mi))的效率内解决问题。

双端队列优化： 可以在O（nW）的时间复杂度内实现。

dp[i][j]：到第i个物品为止总重量不超过j的所有选法中最大的可能价值。

dp[i+1][j]=max{dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]|0<=k<=mi且j-k*w[i]>=0}

在这个方程的转移中，j mod w[i]的值不同则之间的不存在转移关系。

我们首先考虑一下 j mod w[i]=0的情况

定义 a[j]=dp[i][j*w[i]]

那么转移方程就可以改写为dp[i+1][j+k*w[i]]=max（a[j]+k*v[i]，a[j+1]+（k-1）*v[i]，....a[j+l]);

这样的数列还不能方便的计算

如果令b[j]=a[j]-j*v[i]  

那么 dp[i+1][(j+k)*w[i]]=max{b[j],b[j+1],....b[j+k]}+(j+k)*v[i];

b[j]这个数列就可以用滑动最小值的方法去维护了。