POJ_1830_开关问题

开关问题

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Description

有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）

Input

输入第一行有一个数K，表示以下有K组测试数据。 
每组测试数据的格式如下： 
第一行 一个数N（0 < N < 29） 
第二行 N个0或者1的数，表示开始时N个开关状态。 
第三行 N个0或者1的数，表示操作结束后N个开关的状态。 
接下来 每行两个数I J，表示如果操作第 I 个开关，第J个开关的状态也会变化。每组数据以 0 0 结束。 

Output

如果有可行方法，输出总数，否则输出“Oh,it's impossible~!!” 不包括引号

Sample Input

230 0 01 1 11 21 32 12 33 13 20 030 0 01 0 11 22 10 0

Sample Output

4Oh,it's impossible~!!

Hint

第一组数据的说明： 
一共以下四种方法： 
操作开关1 
操作开关2 
操作开关3 
操作开关1、2、3 （不记顺序） 

Source

LIANGLIANG@POJ

• 矩阵是个好东西
• 每个样例给出开始状态和结束状态，牵扯到状态的转移，我们自然联想到用矩阵来表示这样的一个过程
• 每个开关只有两种状态，我们用1和0表示
• 每个开关的操作只有有和无两种情况，我们用1和0表示
• 我们令：
• 开始状态  S（n，1）
• 结束状态  E（n，1）
• 操作情况  X（n，1）
• 开关联系  R（n，1）
• 转移矩阵  A（n，n）
• 考虑每个开关状态改变的原因是广义操作次数（即该开关本身是否被直接操作和由其他开关导致的关联操作），如果操作次数是奇数则该开关状态改变，如果是偶数则不变,这里我们用1表示奇数用0表示偶数
• 通过前面的分析，我们考虑用模2运算来进行计算，即用异或运算
• 则每个开关状态的改变与操作情况X和开关联系R有关
• 这里我们添加一个新的矩阵：
• 状态更改  T（n，1）
• 则有以下关系（矩阵乘法）：

• A*S=E;sigma(S[j]*R[j][i]*X[j])==E[i];R*X*S=E;A=R*X;T=S^E;R*X=S^E=T;

• 我们考虑以下两个式子：

• A*S=E;R*X=S^E=T;

• 根据矩阵乘法规则我们知道E[1]与S[1--n]和A[1][1--n]有关，那么在存储开关联系矩阵 R（n，n）的时候应该注意，正因为我们要利用矩阵来解决问题，所以我们在面对开关  i->j 的关系时，应该按照矩阵运算的规则存储在  R[j][i] 只有这样才能使得开关联系矩阵具有实际意义
• 解决以上问题后，就是高斯消元看自由元个数了，有3种情况：
• 无解（0+0+....+0=a; a!=0）
• 唯一解（自由元个数是0）
• 多解（对应一般方程组的无穷解，但是这里每个开关状态只有两个，所以解的个数有限，解的个数是 ans=2^(free_ver)）

#include <iostream>#include <string>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <climits>#include <cmath>#include <vector>#include <queue>#include <stack>#include <set>#include <map>using namespace std;typedef long long           LL ;typedef unsigned long long ULL ;const int    maxn = 1000 + 10  ;const int    inf  = 0x3f3f3f3f ;const int    npos = -1         ;const int    mod  = 1e9 + 7    ;const int    mxx  = 100 + 5    ;const double eps  = 1e-6       ;struct Matrix{int n, m;int a[mxx][mxx];void reset(int x, int y){n=x;m=y;memset(a,0,sizeof(a));}};int Gauss(Matrix x){int r=0, res=0;for(int i=0;i<x.n;i++){int mxr=r;for(int j=r;j<x.n;j++)if(x.a[j][i]>x.a[mxr][i])mxr=j;if(mxr!=r)for(int k=0;k<x.m;k++)swap(x.a[mxr][k],x.a[r][k]);if(0==x.a[r][i]){res++;continue;}for(int j=r+1;j<x.n;j++)if(x.a[j][i])for(int k=0;k<x.m;k++)x.a[j][k]^=x.a[r][k];r++;}for(int i=x.n-1;i>=0;i--){int j=0, k=x.a[i][x.n];for(int p=0;p<x.n;p++)j|=x.a[i][p];if(k && !j)return -1;}return res;}Matrix A, C;int T, n, e, f, ra;int u[mxx], v[mxx], w[mxx], r[mxx][mxx];int main(){// freopen("in.txt","r",stdin);// freopen("out.txt","w",stdout);while(~scanf("%d",&T)){while(T--){scanf("%d",&n);memset(r,0,sizeof(r));for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&u[i]);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&v[i]);for(int i=0;i<n;i++)w[i]=u[i]^v[i];while(~scanf("%d %d",&e,&f) && (e+f))r[f-1][e-1]=1;A.reset(n,n+1);for(int i=0;i<n;i++)r[i][i]=1, A.a[i][n]=w[i];for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)A.a[i][j]=r[i][j];ra=Gauss(A);if(0<=ra){if(ra){printf("%d\n",1<<ra);}else{puts("1");}}else{puts("Oh,it's impossible~!!");}}}return 0;}