POJ 1637 浅谈混合图欧拉回路网络流建模

世界真的很大
欧拉是个厉害的人
从数论到图论，欧拉函数到欧拉回路
欧拉回路好像是他在意大利的什么地方有7个岛搞出来的
但是这道题的解法和欧拉关系不大了，是网络流
所以说网络流也是一个神奇东西
先看一下题：
description：

给定一张有向边和无向边构成的混合图。求给其中的无向边给定方向是否能使其含有一条欧拉回路

input

一个数字T表示数据组数每组数据第一行包含2个整数n，m，表示点数和边数接下来m行，每行包括3个整数u，v，mrk，表示u，v之间有一条边，0是无向边，1是有向边

output

每组数据输出impossible或possible表示数据有无解

思路比较不好想
有大佬有更厉害的做法
但我就只知道听了老师的一知半解地yy了
首先要明白欧拉回路的充要条件，即充分，必要，就是每个点的出度等于入度
通过给出的有向边，我们能知道每个点的出入度情况，不妨把所有无向边都假设为有向边，统计一次出入度
必然有某些点的出度不等于入度的情况
可以通过更改某些无向边的方向来调整，如果使一条无向边的方向反过来，即某个点的出度会+1，入度会-1，所以如果统计下来某个点的出入度之差是奇数，那就不可能调整为出入度相等了，就肯定没有欧拉回路了
在所有点的出入度之差都为偶数的情况下，如果一个点的入度大于出度，就好像有些边进来了，却没有出去，即这个点需要流出边，流出边的数量正好是出入度之差的一半
同理有些点的出度大于入度，相当于流入的边不够流出，就需要流入，需要流入的边的数量正好是出入度之差的一半
初步建模就完成了，源点向所有入度大于出度的点连边，权值为其出入度之差的一半，代表有这么多的边需要流出
所有出度大于入度的点向汇点连边，权值为其出入度之差的一半，相当于有这么多的边需要流入
那么现在需要考虑进一步的调整问题了
对于一条本来是无向边的边（u，v），我们强行假设了这是一条有向边，从u到v，那换句话说只要（u，v）反向，就能使u的出度减少，入度增加；v的出度增加，入度减少。
换个思路吧
也就是说，只要存在（u，v）这条边，就有办法 调整 u和v的出入度关系，如果此时v的入度大于出度，即v与S建了边，有一定流量需要流出，因为（u，v）的存在，v的流量可以通过（u，v）反向的方式流到u，使u的入度增加，如果此时u是出度大于入度的话，正好是一种调整方式
进一步的建边思路就出来了
如果一开始假设无向边（u，v）是从u到v，那么就建一条v到u流量为1的边，表示v需要流出的流量可以通过边反向的方式流到u
接下来跑一遍dinic
如果求出的最大流是满流，就是所有需要流出的边都找到了流入的点，每个点的出度等于入度，就说明有一种方案了
完整代码：

#include<stdio.h>#include<algorithm>#include<cstring>#include<queue>using namespace std;const int INF=0x3f3f3f3f;struct edge{    int v,last,w;}ed[100010];queue <int> state;int head[100010],dis[100010],in[100010],ou[100010];int num=1,n,m,S,T,tot,ans,flag,Tt;void init(){    num=1,S=0,T=n+1,tot=0,ans=0,flag=0;    memset(head,0,sizeof(head));    memset(in,0,sizeof(in));    memset(ou,0,sizeof(ou));}void add(int u,int v,int w){    num++;    ed[num].v=v;    ed[num].w=w;    ed[num].last=head[u];    head[u]=num;}bool bfs(){    while(state.size()) state.pop();    memset(dis,-1,sizeof(dis));    dis[S]=0;    state.push(S);    while(!state.empty())    {        int u=state.front();        state.pop();        for(int i=head[u];i;i=ed[i].last)        {            int v=ed[i].v;            if(dis[v]==-1&&ed[i].w>0)            {                dis[v]=dis[u]+1;                state.push(v);            }        }    }    if(dis[T]==-1) return 0;    return 1;}int dfs(int u,int low){    if(u==T || low==0) return low;    int a=0;    for(int i=head[u];i;i=ed[i].last)    {        int v=ed[i].v;        if(ed[i].w>0&&dis[v]==dis[u]+1)        {            int tmp=dfs(v,min(low,ed[i].w));            ed[i].w-=tmp;            ed[i^1].w+=tmp;            a+=tmp,low-=tmp;            if(low==0) return a;        }    }    if(low) dis[u]=-1;    return a;}int main(){    scanf("%d",&Tt);    while(Tt--)    {        scanf("%d%d",&n,&m);        init();        for(int i=1;i<=m;i++)        {            int u,v,mrk;            scanf("%d%d%d",&u,&v,&mrk);            in[v]++,ou[u]++;            if(!mrk)             {                add(v,u,1);                add(u,v,0);            }        }        for(int i=1;i<=n;i++)                   if(abs(in[i]-ou[i])&1)            {                flag=1;                break ;            }            else if(in[i]>ou[i])            {                add(S,i,(in[i]-ou[i])>>1);                add(i,S,0);tot+=(in[i]-ou[i])/2;            }            else if(in[i]<ou[i])            {                add(i,T,(ou[i]-in[i])>>1);                add(T,i,0);             }        if(flag)        {            printf("impossible\n");            continue ;        }               while(bfs())            ans+=dfs(S,INF);        if(ans!=tot) printf("impossible\n");        else printf("possible\n");    }    return 0;}/*Whoso pulleth out this sword from this stone and anvil is duly born King of all England*/

嗯，就是这样