整数中1出现的次数

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一个更好的办法是利用数学公式直接计算出最终的结果，该方法是依次求出数字 X 在个位、十位、百位等等出现的次数，再相加得到最终结果。这里的 X∈[1,9]X∈[1,9]，因为 X=0X=0 不符合下列规律，需要单独计算。

首先要知道以下的规律：

• 从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。
• 从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。
• 从 1 至 1000，在它们的千位数中，任意的 X 都出现了 100 次。

依此类推，从 1 至 10i10i，在它们的左数第二位（右数第 ii 位）中，任意的 X 都出现了 10i−110i−1 次。

这个规律很容易验证，这里不再多做说明。

接下来以 n=2593,X=5n=2593,X=5 为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。

现在依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。

然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了 25×10=25025×10=250 次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。

接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了 2×100=2002×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。

最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 ii 位包含的 X 的个数时：

1. 取第 ii 位左边（高位）的数字，乘以 10i−110i−1，得到基础值 aa。
2. 取第 ii 位数字，计算修正值：
   1. 如果大于 X，则结果为 a+10i−1a+10i−1。
   2. 如果小于 X，则结果为 aa。
   3. 如果等 X，则取第 ii 位右边（低位）数字，设为 bb，最后结果为 a+b+1a+b+1。

相应的代码非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有 O(log10n)O(log10n)。

class Solution {
public:
    // 计算从0到n中1的总数
    //暴力解法
    
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    {
       /* int count = 0;
        for(int i=0;i<=n;i++) {
            count += NumberOf1(i);
        }
        return count;
    }
    // 计算数字n中1的个数
    int NumberOf1(int n)
    {
        int count = 0;
        while(n) {
            if(n%10 == 1) count++;
            n /= 10;
        }
        return count;
    }*/
        int cnt = 0, k;
    for(int i=1;k = n/i;i *= 10) {
        // 高位的数字。
        int high = k / 10;
       /* if (x == 0) {
            if (high) {
                high--;
            } else {
                break;
            }
        }*/
        cnt += high * i;
        // 当前位的数字。
        int cur = k % 10;
        if (cur > 1) {
            cnt += i;
        } else if (cur == 1) {
            // n - k * i 为低位的数字。
            cnt += n - k * i + 1;
        }
    }
    return cnt;
    }
};