BZOJ 1497 [NOI2006]最大获利 最大权闭合子图

Description

新的技术正冲击着手机通讯市场，对于各大运营商来说，这既是机遇，更是挑战。THU集团旗下的CS&T通讯公司在新一代通讯技术血战的前夜，需要做太多的准备工作，仅就站址选择一项，就需要完成前期市场研究、站址勘测、最优化等项目。在前期市场调查和站址勘测之后，公司得到了一共N个可以作为通讯信号中转站的地址，而由于这些地址的地理位置差异，在不同的地方建造通讯中转站需要投入的成本也是不一样的，所幸在前期调查之后这些都是已知数据：建立第i个通讯中转站需要的成本为Pi（1≤i≤N）。另外公司调查得出了所有期望中的用户群，一共M个。关于第i个用户群的信息概括为Ai, Bi和Ci：这些用户会使用中转站Ai和中转站Bi进行通讯，公司可以获益Ci。（1≤i≤M, 1≤Ai, Bi≤N） THU集团的CS&T公司可以有选择的建立一些中转站（投入成本），为一些用户提供服务并获得收益（获益之和）。那么如何选择最终建立的中转站才能让公司的净获利最大呢？（净获利 = 获益之和 - 投入成本之和）

Input

输入文件中第一行有两个正整数N和M 。第二行中有N个整数描述每一个通讯中转站的建立成本，依次为P1, P2, …, PN 。以下M行，第(i + 2)行的三个数Ai, Bi和Ci描述第i个用户群的信息。所有变量的含义可以参见题目描述。

Output

你的程序只要向输出文件输出一个整数，表示公司可以得到的最大净获利。

Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
1 2 3
2 3 4
1 3 3
1 4 2
4 5 3

Sample Output

4

HINT

【样例说明】选择建立1、2、3号中转站，则需要投入成本6，获利为10，因此得到最大收益4。【评分方法】本题没有部分分，你的程序的输出只有和我们的答案完全一致才能获得满分，否则不得分。【数据规模和约定】 80%的数据中：N≤200，M≤1 000。 100%的数据中：N≤5 000，M≤50 000，0≤Ci≤100，0≤Pi≤100。

Source

传送门

对于一个客户，如果他要求的两个中转站之间不连通，那么将会损失一定的收益。

求最大的获利可以看作是求最小的损失。

接着成本可以把原来的价值都取负来看。

我们可以把中转站看成两块S，T。。即割C（S，T）

假设S内的中转站都是取的，T内都是不取的；

那么只要删掉不是都在S内的边的获利就好了。

以上其实太跳跃了……

这题的话就是求最大权闭合子图。然后可以证明它和最小割的关系。

可以看一个blog写的还不错：传送门

还有胡伯涛最小割那篇论文里面也讲到了，可能更加详细。

剩下就是直接上最大流了……

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int read(){    int x=0,f=1;char ch=getchar();    while (ch<'0' || ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}    while (ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}    return x*f;}const int N=5007,M=50007,MAX=N+M,inf=1000000000;int n,m,Ecnt;int source,sink;int gap[MAX],d[MAX],pre[MAX];int Q[MAX];struct Edge{int next,to,C;}E[(MAX+(M<<1))<<1];int head[MAX],cur[MAX];void add(int u,int v,int w){E[Ecnt].next=head[u];E[Ecnt].to=v;E[Ecnt].C=w;head[u]=Ecnt++;}void BFS(){memset(gap,0,sizeof(gap));memset(d,255,sizeof(d));d[sink]=0,gap[0]=1;int h=0,t=1;Q[0]=sink;while (h<t){int u=Q[h++];for (int i=head[u];~i;i=E[i].next){int j=E[i].to;if (~d[j]) continue;d[j]=d[u]+1;gap[d[j]]++;Q[t++]=j;}}}int ISAP(){BFS();memcpy(cur,head,sizeof(cur));int flow=0,u,Ver=n+m+2;u=pre[source]=source;while (d[sink]<Ver+1){if (u==sink){int neck,f=inf;for (int i=source;i!=sink;i=E[cur[i]].to)if (f>E[cur[i]].C) f=E[cur[i]].C,neck=i;for (int i=source;i!=sink;i=E[cur[i]].to)E[cur[i]].C-=f,E[cur[i]^1].C+=f;flow+=f,u=neck;}int j;for (j=cur[u];~j;j=E[j].next)if (E[j].C && d[E[j].to]+1==d[u]) break;if (~j){cur[u]=j;pre[E[j].to]=u;u=E[j].to;}else{if (!(--gap[d[u]])) break;int mind=Ver+1;for (int i=head[u];~i;i=E[i].next)if (E[i].C && mind>d[E[i].to])cur[u]=i,mind=d[E[i].to];d[u]=mind+1;gap[d[u]]++;u=pre[u];}}return flow;}int main(){n=read(),m=read();Ecnt=0;memset(head,255,sizeof(head));source=n+m+1;sink=n+m+2;for (int i=1;i<=n;i++)add(i,sink,read()),add(sink,i,0);int u,v,w,sum=0;for (int i=1;i<=m;i++){u=read(),v=read(),w=read();add(source,n+i,w),add(n+i,source,0);add(n+i,u,inf),add(u,n+i,0);add(n+i,v,inf),add(v,n+i,0);sum+=w;}printf("%d\n",sum-ISAP());return 0;}