Hdu3879 Base Station 最大权闭合子图 最大获利

题意：

公司得到了一共N个可以作为通讯信号中转站的地址，而由于这些地址的地理位置差异，在不同的地方建造通讯中转站需要投入的成本也是不一样的，所幸在前期调查之后这些都是已知数据：建立第i个通讯中转站需要的成本为Pi（1≤i≤N）。

 

•另外公司调查得出了所有期望中的用户群，一共M个。关于第i个用户群的信息概括为Ai, Bi和Ci：这些用户会使用中转站Ai和中转站Bi进行通讯，公司可以获益Ci。（1≤i≤M, 1≤Ai, Bi≤N）

•THU集团的CS&T公司可以有选择的建立一些中转站（投入成本），为一些用户提供服务并获得收益（获益之和）。那么如何选择最终建立的中转站才能让公司的净获利最大呢？（净获利 = 获益之和 - 投入成本之和）

 

 

分析：

把每个用户和每个站点都看成一个顶点。建立网络，从源点S向每个用户连接一条容量为收益的有向边，每个用户向相关的两个站点连接一条容量为无穷大的 有向边，每个站点向汇点T连接一条容量为成本的有向边。求出网络最小割集的容量就是Maxflow=（未被选的用户的收益之和 + 被选择的站点的成本之和）。设Total为所有用户的收益之和，我们要求的是（被选的用户的收益之和 – 被选择的站点的成本之和），恰好等于Total – Maxflow，就是最大收益。

为什么是这样的？因为任何一个可行割集对应了一个满足条件的方案，具体来说被选择的顶点就是S集合中的顶点，而割集对应了cut=（未被 选的用户的收益之和 + 被选择的站点的成本之和），我们为了要求的（被选的用户的收益之和 – 被选择的站点的成本之和）= Total – cut尽量大，Total一定，所以要让cut尽量小，直至最小割集。

 

 

•本题可以参考:(最大获利)

•:http://judge.noi.cn/problem?id=1142

在胡伯涛论文 《最小割模型在信息学竞赛中的应用》中有详细介绍过这个问题.

•在论文的第四节中,介绍最大密度子图模型.先将其转化为最大闭合图模型解决,又重新提出了一个用最小割模型解决的新方法很好的解决了"最大获利(profit)问题"

 

 

最大权闭合图 Maximum Weight Closure of a Graph

 

•定义一个有向图G = (V, E)的闭合图是该有向图的一个点集，且该点集的所有出边都还指向该点集。即闭合图内的任意点的任意后继也一定在闭合图中。更形式化地说，闭合图是这样的一个点集V'∈V，满足对于∀u∈V'引出的∀<u, v>∈E，必有v∈V'成立。

 

 

闭合图的性质

 

闭合图的性质有恰好反映了事物间的必要条件的关系，一个事件的发生，它说需要的所有前提也都要发生。这就对应着图里面的所有由u引出的边e，在闭合图里u和由u的出边e到达的点v是一个整体，就是说，如果一个闭合图包含了u，就必须也要包含v，但是如果一个闭合图包含了v，却不一定要包含u，只要利用好这种必要关系，就可以很快建图了。

 

•将每个用户(m)和中转站(n)看作点，另外添加源点s，汇点t,所以所构图中有(n+m+1+1)个点.

•添加下列边：

•①s到用户i，容量为Ci

•②用户i到中转站Ai和Bi，容量为∞

•③中转站i到t，容量为Pi

 

•考虑这个模型的割

•割边不可能是②中的边，这保证了解的合法性

•属于①的割边表示损失的利益

•属于③的割边表示付出的代价

• 因为最大获益=用户总获益-未选择用户群应得获益-中转站花费=用户总获益-(未选择用户群应得获益+中转站花费)

•显然割的量越小越好，这样这道题就转换成一个最小割的问题

•根据最大流最小割定理，设sum=∑Ci，我们只要求出该网络的最大流maxflow，则sum-maxflow就是最大获利

 

•对于这个网络流模型,它的最小割的意义就是未选择用户群应得获益+中转站花费.

•这样,只要求出最小切割,然后用用户总获益减去最小切割就可以了.

•

根据最小割最大流定理,求一个最大流,问题解决.

 

 

#include<iostream> #include<cstdio> #include<memory.h> #include<cmath> using namespace std;   #define MAXN 60000 #define MAXE 320000 #define INF 0x3fffffff   int ne,nv,tmp,s,t,index;  struct Edge{     int next,pair,v;     int cap,fLow; }edge[MAXE]; int net[MAXN]; int ISAP() {     int numb[MAXN],dist[MAXN],curedge[MAXN],pre[MAXN];     int cur_fLow,max_fLow;int u,tmp,neck,i;     memset(dist,0,sizeof(dist));     memset(numb,0,sizeof(numb));     memset(pre,-1,sizeof(pre));     for(i = 1 ; i <= nv ; ++i)         curedge[i] = net[i];     numb[nv] = nv;     max_fLow = 0;     u = s;     while(dist[s] < nv)     {         if(u == t)         {             cur_fLow = INF+1;             for(i = s; i != t;i = edge[curedge[i]].v)              {                   if(cur_fLow > edge[curedge[i]].cap)                 {                     neck = i;                     cur_fLow = edge[curedge[i]].cap;                 }             }             for(i = s; i != t; i = edge[curedge[i]].v)             {                 tmp = curedge[i];                 edge[tmp].cap -= cur_fLow;                 edge[tmp].fLow += cur_fLow;                 tmp = edge[tmp].pair;                 edge[tmp].cap += cur_fLow;                 edge[tmp].fLow -= cur_fLow;             }             max_fLow += cur_fLow;             u = neck;         }        for(i = curedge[u]; i != -1; i = edge[i].next)             if(edge[i].cap > 0 && dist[u] == dist[edge[i].v]+1)                 break;         if(i != -1)         {             curedge[u] = i;             pre[edge[i].v] = u;             u = edge[i].v;         }else{             if(0 == --numb[dist[u]]) break;             curedge[u] = net[u];             for(tmp = nv,i = net[u]; i != -1; i = edge[i].next)                 if(edge[i].cap > 0)                     tmp = tmp<dist[edge[i].v]?tmp:dist[edge[i].v];             dist[u] = tmp + 1;             ++numb[dist[u]];             if(u != s) u = pre[u];         }     }          return max_fLow; }void addedge(int u,int v,int f){    edge[index].next = net[u];     edge[index].v = v;     edge[index].cap = f;     edge[index].fLow = 0;     edge[index].pair = index+1;     net[u] = index++;     edge[index].next = net[v];     edge[index].v = u;     edge[index].cap = 0;     edge[index].fLow = 0;     edge[index].pair = index-1;     net[v] = index++;    } int main() {     int i,j,m,n,tmp;         int sum;    int a,b,c;    /*由此，题目转化为在新的图中求一个闭合图，使得其点权最大，即最大权闭合子图由于最小边权是互补的所以用sum-= */     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)     { sum=0;        index=0;        s = 0;         t = n+m+1; nv=t+1;        memset(net,-1,sizeof(net));                for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&tmp);addedge(s,i,tmp);}for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);sum+=c;//最大获利//n+i代表边的点 addedge(n+i,t,c);addedge(a,n+i,INF);addedge(b,n+i,INF);}                          int ans=ISAP();        printf("%d\n",sum-ans);     }     return 0; }