nyoj 571 整数划分(三)（递归）

整数划分(三)

描述
整数划分是一个经典的问题。请写一个程序,完成以下要求。

输入
每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)
输出
对于输入的 n,k;
第一行： 将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行： 将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行： 将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行： 将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数。
第五行： 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行： 打印一个空行
样例输入
5 2
样例输出
7
2
3
3
3
提示
样例输出提示:
1.将5划分成若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.将5划分成2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+1
3.将5划分成最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.将5划分成若干 奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.将5划分成若干不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3


思路：
1.将n划分成若干个正整数之和（m表示为当前划分的最大值）

当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1}; 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1}; 当n＜m时，由于最大值只能是n，所以此时f(n,m)=f(n,n)；当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：    (1) 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；     (2) 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1); 当n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：     (1) 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m);     (2) 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

2.将n划分成m个正整数之和

首先当m=1时，f(n,m)=1；当n＜m时，f(n,m)=0；然后根据划分的m个整数中是否包含1，可以分为两种情况：  (1)假设分成的m个整数中不包含1，那么 此时 f (n-m，m)就是这部分的总情况，因为既然让它不包含１，就先将m个整数都分出１，此时n变为n－m，再将n分为m个整数，这m个整数再加上原先分出的１，就肯定不含1了。  (2)假设分成的m个整数至少有一个１,那么此时ｆ(n-１，m-１)因此f(n,m)=f(n-m,m)+f(n-1,m-1)；

3.将n划分成最大数不超过m（同1）

4.将n划分成若干奇正整数之和

将n划分成若干个正整数之和的改进版我们首先需要调整边界状态：当m=1时，f(n,m)=1；当n=1而m>1时，f(n,m)=0其次，我们需要调整状态转换公式：f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m) 应该更改为：f(n-m,m)+f(n,m-2); (n>m)这是因为我们不能取偶数，故而当m为奇数的时候，m-1为偶数（只能被选择0次），f(n,m-1)=f(n,m-2);

5.将n划分成若干不同正整数之和

将n划分成若干个正整数之和的改进版此时我们需要调整我们的状态转换公式。f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m) 应该更改为：f(n-m,m-1)+f(n,m-1); (n>m)为什么呢？因为每个数最多使用一次，f(n-m,m-1)表示我们取了数m，f(n,m-1)表示我们没取，但是无论取不取数m我们以后都不会再次取数m了。当然，我们还需要调整边界状态：当m=1时，f(n,m)=1；当n=1而m>1时，f(n,m)=0。其他不变！

代码：

#include<stdio.h>const int N=50;const int maxn=55;int dp1[maxn][maxn],dp2[maxn][maxn],dp3[maxn][maxn],dp4[maxn][maxn];void init(){//将n划分成若干个正整数之和(将n划分成最大数不超过m)    dp1[0][0]=1;    for(int i=0; i<=N; ++i)        for(int j=1; j<=N; ++j)        {            if(j>i)                dp1[i][j]=dp1[i][i];            else                dp1[i][j]=dp1[i][j-1]+dp1[i-j][j];        }//将n划分成m个正整数之和    dp2[0][0]=1;    for(int i=1; i<=N; ++i)        dp2[i][1]=1;    for(int i=2; i<=N; ++i)        for(int j=2; j<=i; ++j)            dp2[i][j]=dp2[i-1][j-1]+dp2[i-j][j];//将n划分成若干奇正整数之和    for(int i=1; i<=N; ++i)        dp3[i][1]=1;    for(int i=1; i<=N; ++i)        dp3[0][i]=1;    dp3[0][0]=1;    for(int i=1; i<=N; ++i)        for(int j=2; j<=N; ++j)        {            if(j&1)            {                if(j>i)                {                    if(i&1)                        dp3[i][j]=dp3[i][i];                    else                        dp3[i][j]=dp3[i][i-1];                }                else                    dp3[i][j]=dp3[i-j][j]+dp3[i][j-2];            }            else dp3[i][j]=dp3[i][j-1];        }//将n划分成若干不同正整数之和    for(int i=1; i<=N; ++i)    {        dp4[0][i]=1;        dp4[1][i]=1;    }    for(int i=2; i<=N; ++i)        for(int j=1; j<=N; ++j)        {            if(j>i)                dp4[i][j]=dp4[i][i];            else                dp4[i][j]=dp4[i-j][j-1]+dp4[i][j-1];        }}int main(){    init();    int n,k;    while(~scanf("%d%d",&n,&k))    {        printf("%d\n",dp1[n][n]);        printf("%d\n",dp2[n][k]);        printf("%d\n",dp1[n][k]);        printf("%d\n",dp3[n][n]);        printf("%d\n\n",dp4[n][n]);    }    return 0;}

参考博客：
isiqi
苯苯的小木屋