HihoCoder1143 骨牌覆盖问题·一(矩阵快速幂,斐波那契)
来源:互联网 发布:手机淘宝差评怎么删掉 编辑:程序博客网 时间:2024/06/07 01:13
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描述
骨牌,一种古老的玩具。今天我们要研究的是骨牌的覆盖问题:
我们有一个2xN的长条形棋盘,然后用1x2的骨牌去覆盖整个棋盘。对于这个棋盘,一共有多少种不同的覆盖方法呢?
举个例子,对于长度为1到3的棋盘,我们有下面几种覆盖方式:
提示:骨牌覆盖
提示:如何快速计算结果
输入
第1行:1个整数N。表示棋盘长度。1≤N≤100,000,000
输出
第1行:1个整数,表示覆盖方案数 MOD 19999997
官方讲的很详细,我直接贴上来
提示:骨牌覆盖
我们考虑在已经放置了部分骨牌(灰色)的情况下,下一步可以如何放置新的骨牌(蓝色):
最右边的一种情况是不可能发生的,否则会始终多一个格子没有办法放置骨牌。或者说灰色部分的格子数为奇数,不可能通过1x2个骨牌放置出来。那么通过对上面的观察,我们可以发现:
在任何一个放置方案最后,一定满足前面两种情况。而灰色的部分又正好对应了长度为N-1和N-2时的放置方案。由此,我们可以得到递推公式:
f[n] = f[n-1] + f[n-2];
这个公式是不是看上去很眼熟?没错,这正是我们的费波拉契数列。
f[0]=1,f[1]=1,f[2]=2,...
提示:如何快速计算结果
当N很小的时候,我们直接通过递推公式便可以计算。当N很大的时候,只要我们的电脑足够好,我们仍然可以直接通过递推公式来计算。
但是我们学算法的,总是这样直接枚举不是显得很Low么,所以我们要用一个好的算法来加速(装X)。
事实上,对于这种线性递推式,我们可以用矩阵乘法来求第n项。对于本题Fibonacci数列,我们希望找到一个2x2的矩阵M,使得(a, b) x M = (b, a+b),其中(a, b)和(b, a+b)都是1x2的矩阵。
显然,只需要取M = [0, 1; 1, 1]就可以了:
1. 先计算出所有的{a^1, a^2, a^4 ... a^(2^j)},因为该数列满足递推公式,时间复杂度为O(logN)
2. 将指数n二进制化,再利用公式将对应的a^j相乘计算出a^n,时间复杂度仍然为O(logN)
则总的时间复杂度为O(logN)
这种算法因为能够在很短时间内求出幂,我们称之为“快速幂”算法。
代码:
#include <cstdio>#include <cstring>#include <cctype>#include <string>#include <set>#include <iostream>#include <stack>#include <cmath>#include <queue>#include <vector>#include <algorithm>#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define inf 0x3f3f3f3f#define mod 1000007#define N 2#define M 19999997#define ll long longusing namespace std;struct Matrix{long long a[2][2];Matrix(){memset(a, 0, sizeof(a));}Matrix operator * (const Matrix y){Matrix ans;for(int i = 0; i <= 1; i++)for(int j = 0; j <= 1; j++)for(int k = 0; k <= 1; k++)ans.a[i][j] += a[i][k]*y.a[k][j];for(int i = 0; i <= 1; i++)for(int j = 0; j <= 1; j++)ans.a[i][j] %= M;return ans;}void operator = (const Matrix b){for(int i = 0; i <= 1; i++)for(int j = 0; j <= 1; j++)a[i][j] = b.a[i][j];}};int solve(long long x){Matrix ans, trs;ans.a[0][0] = ans.a[1][1] = 1;trs.a[0][0] = trs.a[1][0] = trs.a[0][1] = 1;while(x){if(x&1)ans = ans*trs;trs = trs*trs;x >>= 1;}return ans.a[0][0];}int main(){int n;while(~scanf("%d", &n)){printf("%d\n",solve(n));}return 0;}
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