动态规划学习笔记

来源：互联网发布：淘宝智能版装修素材编辑：程序博客网时间：2024/06/04 18:25

动态规划

动态规划入门篇

出处：http://blog.csdn.net/baidu_28312631/article/details/47418773

动态规划原理讲解

出处：http://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741374.html

动态规划之背包问题

出处：http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810

实例详解

一、Fibonacci数列

方程：f[n]=f[n-1]+f[n-2] (n>1) f[0]=0 f[1]=1

动态规划分析：用迭代取代递归实现求特定项的数列值，降低时间复杂度

int F(n){    f=f[0]=0;g=f[1]=1;for(int i=0;i<n;i++){g=f+g;f=g-f;}        return f;}

二、数字金字塔

数字三角形(POJ1163)

在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99

输入格式：

5 //表示三角形的行数接下来输入三角形

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

要求输出最大和

接下来，我们来分析一下解题思路：

首先，肯定得用二维数组来存放数字三角形

然后我们用D( r, j) 来表示第r行第 j 个数字(r,j从1开始算)

我们用MaxSum(r, j)表示从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。

因此，此题的最终问题就变成了求 MaxSum(1,1)

当我们看到这个题目的时候，首先想到的就是可以用简单的递归来解题：

D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形，我们可以写出如下的递归式：

if ( r == N)                MaxSum(r,j) = D(r,j)  else      MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)

根据上面这个简单的递归式，我们就可以很轻松地写出完整的递归代码：

#include <iostream>  #include <algorithm> #define MAX 101  using namespace std; int D[MAX][MAX];  int n;  int MaxSum(int i, int j){    if(i==n)  return D[i][j];    int x = MaxSum(i+1,j);    int y = MaxSum(i+1,j+1);    return max(x,y)+D[i][j];  }int main(){    int i,j;    cin >> n;    for(i=1;i<=n;i++)   for(j=1;j<=i;j++)        cin >> D[i][j];    cout << MaxSum(1,1) << endl;  }

对于如上这段递归的代码，当我提交到POJ时，会显示如下结果：

对的，代码运行超时了，为什么会超时呢？

答案很简单，因为我们重复计算了，当我们在进行递归时，计算机帮我们计算的过程如下图：

就拿第三行数字1来说，当我们计算从第2行的数字3开始的MaxSum时会计算出从1开始的MaxSum，当我们计算从第二行的数字8开始的MaxSum的时候又会计算一次从1开始的MaxSum，也就是说有重复计算。这样就浪费了大量的时间。也就是说如果采用递规的方法，深度遍历每条路径，存在大量重复计算。则时间复杂度为 2的n次方,对于 n = 100 行，肯定超时。

接下来，我们就要考虑如何进行改进，我们自然而然就可以想到如果每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。那么可以用n方的时间复杂度完成计算。因为三角形的数字总数是 n(n+1)/2

根据这个思路，我们就可以将上面的代码进行改进，使之成为记忆递归型的动态规划程序：

#include <iostream>  #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 101  int D[MAX][MAX];    int n;  int maxSum[MAX][MAX]; int MaxSum(int i, int j){      if( maxSum[i][j] != -1 )         return maxSum[i][j];      if(i==n)   maxSum[i][j] = D[i][j];     else{    int x = MaxSum(i+1,j);       int y = MaxSum(i+1,j+1);       maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j];     }     return maxSum[i][j]; } int main(){    int i,j;    cin >> n;    for(i=1;i<=n;i++)   for(j=1;j<=i;j++) {       cin >> D[i][j];       maxSum[i][j] = -1;   }    cout << MaxSum(1,1) << endl; }

当我们提交如上代码时，结果就是一次AC

虽然在短时间内就AC了。但是，我们并不能满足于这样的代码，因为递归总是需要使用大量堆栈上的空间，很容易造成栈溢出，我们现在就要考虑如何把递归转换为递推，让我们一步一步来完成这个过程。

我们首先需要计算的是最后一行，因此可以把最后一行直接写出，如下图：

现在开始分析倒数第二行的每一个数，现分析数字2，2可以和最后一行4相加，也可以和最后一行的5相加，但是很显然和5相加要更大一点，结果为7，我们此时就可以将7保存起来，然后分析数字7，7可以和最后一行的5相加，也可以和最后一行的2相加，很显然和5相加更大，结果为12，因此我们将12保存起来。以此类推。。我们可以得到下面这张图：

然后按同样的道理分析倒数第三行和倒数第四行，最后分析第一行，我们可以依次得到如下结果：

上面的推导过程相信大家不难理解，理解之后我们就可以写出如下的递推型动态规划程序：

#include <iostream>  #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 101  int D[MAX][MAX];   int n;  int maxSum[MAX][MAX]; int main(){    int i,j;    cin >> n;    for(i=1;i<=n;i++)   for(j=1;j<=i;j++)        cin >> D[i][j];   for( int i = 1;i <= n; ++ i )     maxSum[n][i] = D[n][i];   for( int i = n-1; i>= 1;  --i )     for( int j = 1; j <= i; ++j )         maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j];    cout << maxSum[1][1] << endl;  }

我们的代码仅仅是这样就够了吗？当然不是，我们仍然可以继续优化，而这个优化当然是对于空间进行优化，其实完全没必要用二维maxSum数组存储每一个MaxSum(r,j),只要从底层一行行向上递推，那么只要一维数组maxSum[100]即可,即只要存储一行的MaxSum值就可以。

对于空间优化后的具体递推过程如下：

接下里的步骤就按上图的过程一步一步推导就可以了。进一步考虑，我们甚至可以连maxSum数组都可以不要，直接用D的第n行直接替代maxSum即可。但是这里需要强调的是：虽然节省空间，但是时间复杂度还是不变的。

依照上面的方式，我们可以写出如下代码：

#include <iostream>  #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 101  int D[MAX][MAX];  int n; int * maxSum; int main(){    int i,j;    cin >> n;    for(i=1;i<=n;i++)   for(j=1;j<=i;j++)        cin >> D[i][j];   maxSum = D[n]; //maxSum指向第n行    for( int i = n-1; i>= 1;  --i )     for( int j = 1; j <= i; ++j )       maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];    cout << maxSum[1] << endl;  }

三、背包问题

四、最短路径、最长公共子序列、最大价值

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