漫步最优化十三——驻点
来源:互联网 发布:彩虹6号围攻帧数优化 编辑:程序博客网 时间:2024/06/07 20:09
如果考虑的极值点类型(即极大值,极小值)位于可行域的内部,那么我们称为它们驻点,因为在这些点上
g(x¯)=0 x¯ 既不是极大值,也不是极小值。
图1
鞍点
其中
因为
因此,矩阵
驻点是局部的并通过下面方法得到:
- 找出使得
g(xi¯)=0 的点xi - 求出海森矩阵
H(xi) - 对于每个点
xi 确定H(xi) 的特征
如果
然后判断是否满足极大值或极小值的定义。
通过前面的讨论可以看出,判别函数
给出的矩阵
因为
因此
是正定,半正定等。
- 如果
n×n 矩阵B 是非奇异的且Ĥ =BTHB
对称矩阵,对角元素为
- (a)的逆也为真,即如果
H 是正定,半正定等,那么ĥ i>0,≥0 等,如果H 是不定的,那么某些ĥ i 是正的,某些是负的。
因此如果
即
(b)假设
那么
如果
通过在矩阵
其中
与
如果
那么
因此
因为初等矩阵是非奇异的,所以
另一个表征海森矩阵的定理如下:
- 如果
H 是实对称矩阵,那么存在正交矩阵U 使得Λ=UTHU
是对角矩阵,其对角元素就是
H 的特征值是实数。
对于实酉矩阵,我们有
是
另一种表征方阵
- 如果
H 是半正定或正定矩阵,那么detH≥0 or >0 H 是正定矩阵,当且仅当其所有顺序主子式均为正,例如detHi>0 for i=1,2,…,n H 是半正定矩阵,当且仅当其所有主子式均为正,例如对{l1,l2,…,li} 所有可能的选择detH(l)i≥0 for i=1,2,…,n H 是负定矩阵,当且仅当−H 的所有顺序主子式均为正,例如det(-Hi)>0 for i=1,2,…,n H 是半负定矩阵,当且仅当−H 的所有主子式均为正,例如对{l1,l2,…,li} 所有可能的选择det(-H(l)i)≥0 for i=1,2,…,n H 是不定矩阵,如果(c)(e)都不满足。
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