jzoj. 3519. 【NOIP2013模拟11.6A组】灵能矩阵(pylon)

Description

Protoss 的灵能矩阵由若干个节点所构成。它们构成了一棵有根树，树根为1 号节点。定义没有子节点的节点为叶节点。叶节点内储存着一定量的能量，而非叶节点的能量为它子树中所有叶节点的能量之和。

如果一个节点的每一个子节点的能量都相同，那么这个节点就是能量平衡的。如果矩阵内每一个节点都能量平衡，则这个矩阵是能量平衡的。

被你所接管的这个灵能矩阵，似乎在长期的废弃之后已经无法保持的能量的平衡。为了重新让矩阵平衡，你可以通过将叶节点储存的能量散逸到太空中。你不可以使一个叶节点储存的能量为负数。

你希望求出最少散逸多少能量到太空中就能使灵能矩阵的能量平衡。

Input

第一行包含一个整数n，表示节点的数量。

接下来一行，包含A1,A2…An 这n 个非负整数，表示每个节点自身储存的能量。保证储存能量的节点都是叶节点。

接下来n -1 行，每行包含两个数字Si, Ti，描述一条从Si 号节点到Ti 号节点的边。

Output

第一行包含一个整数，表示最少要散逸多少单位的能量才能使灵能矩阵的能量平衡。

Sample Input

6

0 0 12 13 5 6

1 2

1 3

1 4

2 5

2 6

Sample Output

6

Data Constraint

对于15% 的数据，1<= n <= 10。

对于30% 的数据，对于边Si, Ti，Si + 1 ̸= Ti 的边数不超过3 条。

对于50% 的数据，1<= n <= 1000。

对于100% 的数据，1 <= n <= 100000，1 <= Ai <= 2^30。

分析：先说一句，每个叶子节点最后的值一定是整数。我们考虑每个叶子节点都是1，往上跑，如果遇到有儿子不相等的情况，显然要把他们变为最小公倍数。
如

         / \       /    \     2       3    / \    / | \   1   1  1  1  1

最上面是什么呢？？我们可以把下面的2,3的子树全部乘3和2，使他们变为最小公倍数，这时

         12        / \       /    \     6       6    / \    / | \   3   3  2  2  2

这时，左右相等了，最上面的根显然是12。所以对于一个节点i，他的值为
f[i]=lcm(f[i.son1],f[i.son2]……f[i.sonx])*x {x为i儿子数，此时的儿子是没有变为公倍数的，就是2，3那个。}。这时，下面的儿子显然也没有变。所以树应该是这样的，满足上面的式子：

         12        / \       /    \     2       3    / \    / | \   1   1  1  1  1

我们可以用上面的方法自下而上求出f[i]，再自上而下更新f[i]，使树变为状态2，就是第二个图，因为每次把子树都进行乘法，显然会超时。
这时
f[i.son]=f[i]/f[i].x {f[i].x为i的儿子数}

这时若最上面的数为12x，则叶子节点值就为{3x,3x,2x,2x,2x}，如果叶子节点集合为{a1,a2,a3,a4,a5}，那么我们可以结合不等式求出x的最小值，因为节点值只能变小，有
3x<=a1
3x<=a2
2x<=a3
2x<=a4
2x<=a5

所以，x<=min(ai/f[i])，因为是整数，要向下取整。对于最小的x，乘于系数（就是f[i]）,就是这个点要变成的值，用原来的值减去它，再求和即可。

代码：

type node=record  y,next:int64; end;var a,ls:array [1..100001] of int64; f,e:array [1..100001] of int64; v:array [1..100001] of boolean; g:array [1..200001] of node; n,m,ans,x,y,d,min:int64; i,j:longint;function lcm(x,y:int64):int64; var r,s,t:int64;begin s:=x; t:=y; r:=x mod y; while r>0 do  begin   x:=y;   y:=r;   r:=x mod y;  end; exit(s div y*t);end;procedure dfs(x:int64); var t:int64;begin f[x]:=1; if a[x]<>0 then exit; t:=ls[x]; while t>0 do  begin   with g[t] do    begin     if v[y]=false then      begin       v[y]:=true;       dfs(y);       inc(e[x]);       f[x]:=lcm(f[x],f[y]);      end;     t:=next;    end;  end; f[x]:=f[x]*e[x];end;procedure dfsq(x:longint); var t:int64;begin if a[x]<>0 then exit; t:=ls[x]; while t>0 do  begin   with g[t] do    begin     if v[y]=false then      begin       v[y]:=true;       f[y]:=f[x] div e[x];       dfsq(y);      end;     t:=next;    end;  end;end;begin assign(input,'pylon.in'); assign(output,'pylon.out'); reset(input); rewrite(output); readln(n); for i:=1 to n do   read(a[i]); for i:=1 to n-1 do  begin   readln(x,y);   g[i].y:=y;   g[i].next:=ls[x];   ls[x]:=i;   g[i+n].y:=x;   g[i+n].next:=ls[y];   ls[y]:=i+n;  end; v[1]:=true; dfs(1); fillchar(v,sizeof(v),false); v[1]:=true; dfsq(1); min:=maxlongint; for i:=1 to n do  if (a[i] div f[i]<min) and (a[i]<>0) then   min:=a[i] div f[i]; for i:=1 to n do  if a[i]<>0 then   ans:=ans+a[i]-min*f[i]; writeln(ans); close(input); close(output);end.