UVA 11651 Krypton Number System（矩阵加速DP）

题目大意：

    对于一个没有前导0，相邻位数不相同的N（2<=N<=6）进制数字，得分为所有相邻位数的差值的平方和。告诉你一个得分S(1<=S<=1e9)，问有多少个满足题意的数字。

解题思路：

    首先我们就可想到dp[i][j]表示得分为i，最后一位为j的方案数，转移方程为

不过由于S太大，需要使用矩阵加速。

    由于转移最多(N-1)*(N-1)*N个值，所以我们的结果矩阵的边长就要有(N-1)*(N-1)*N。按照转移方程就可以构造矩阵，然后快速幂得到结果。

    以N=3为例：

AC代码：

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <ctime>#include <vector>#include <queue>#include <stack>#include <deque>#include <string>#include <map>#include <set>using namespace std;#define INF 0x3f3f3f3f#define LL long long#define fi first#define se second#define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))const LL MAXN=5*5*6;const LL MOD=1ll<<32ll;LL N,S,L;struct Matrix{    LL a[MAXN][MAXN];    Matrix()    {        memset(a,0,sizeof(a));    }    void init()    {        for(LL i=0;i<L;i++)            for(LL j=0;j<L;j++)                a[i][j]=(i==j);    }    Matrix operator * (const Matrix &B)const    {        Matrix C;        for(LL i=0;i<L;i++)            for(LL k=0;k<L;k++)                if(a[i][k])//由于构造的矩阵0非常多，所以这样可以优化很多                    for(LL j=0;j<L;j++)                        C.a[i][j]=(C.a[i][j]+1LL*a[i][k]*B.a[k][j]+MOD)%MOD;        return C;    }    Matrix operator ^ (const LL &t)const    {        Matrix A=(*this),res;        res.init();        LL p=t;        while(p)        {            if(p&1)res=res*A;            A=A*A;            p>>=1;        }        return res;    }};LL dp[25][6];void init(){    mem(dp,0);}int main(){    int T_T;    scanf("%d",&T_T);    for(int cas=1;cas<=T_T;++cas)    {        scanf("%lld%lld",&N,&S);        L=(N-1)*(N-1)*N;        init();        for(int i=1;i<N;++i)//先普通dp求出前(N-1)*(N-1)项，用来构造初始矩阵            dp[0][i]=1;        for(int i=1;i<(N-1)*(N-1);++i)            for(int j=0;j<N;++j)                for(int k=1;k<=N;++k)//差值                {                    if(j+k<N&&k*k<=i)                        dp[i][j]+=dp[i-k*k][j+k];                    if(j-k>=0&&k*k<=i)                        dp[i][j]+=dp[i-k*k][j-k];                }        Matrix res;//构造初始矩阵        for(int i=0;i<(N-1)*(N-1);++i)            for(int j=0;j<N;++j)                res.a[i*N+j][0]=dp[i][j];        Matrix op;//转移矩阵        for(int i=0;i<L-N;++i)//移位            op.a[i][i+N]=1;        for(int i=0;i<N;++i)//根据转移方程构造            for(int j=1;j<N;++j)            {                if(i+j<N)                    op.a[L-N+i][L-(j*j)*N+i+j]=1;                if(i-j>=0)                    op.a[L-N+i][L-(j*j)*N+i-j]=1;            }        res=(op^S)*res;        LL ans=0;        for(int i=0;i<N;++i)            ans=((ans+res.a[i][0])%MOD+MOD)%MOD;        printf("Case %d: %lld\n",cas,ans);    }        return 0;}