Q127：PBRT-V3，理解“体渲染”积分器的关键竟然是这张图

“体渲染”积分器是在“路径追踪”积分器的基础上考虑了场景中的介质，相当于是对“路径追踪”积分器的拓展。
所以，在学习“体渲染”积分器之前，得有“路径追踪”积分器的基础。参考：
Q124：PBRT-V3，“路径追踪”积分器（14.5章节）

一、那张关键的图

在学习“体渲染”时，一直感觉云里雾里。突然发现，理解“体渲染”积分器的关键竟然是这张图：

对应的方程：

上图和方程描述的是：
一条光线从p点出发，在某Medium中向前延伸，经过一段距离t和场景中的某Surface相交于p0点。

方程中参数解释如下：

p可以是Camera上的点，也可以是Medium或者Surface上的点。
若光线没有和场景中的任何Surface相交，则t=infinity()（无穷大）。
Lo(p0, -w)是交点p0处反射光线的辐射率。若没有交点，Lo(p0, -w)=0。
Tr(p0->p)表示能量从p0传播到p的传播率（即，衰减之后剩余的比例）。
Tr(p0->p)Lo(p0, -w)则表示：p0点反射的能量经过介质的衰减后，最终到达p点的能量。
p’表示光线上p点和p0点之间的任意位置，p’到p0的距离为t’（0 < t’ < t）。明显p’是在介质中。
Ls(p’, -w)表示在p’处的-w方向进入介质的能量（这个能量可能来自“自身发射的能量”和“直接光照”）。
Tr(p’->p)表示能量从p’传播到p的传播率（即，从p’点进入介质的能量经过介质的衰减后传到p点时剩余的比例）。
。光线上p’点到p点之间的任意位置都有能量从-w方向进入介质的，然后衰减，然后传到p点。所以，这个积分式子表示，p’点到p点之间所有位置从-w方向进入介质的能量经过衰减后到达p点的能量的总和。
Li(p,w)表示返回到p点能量。这个能量有两个来源：来自介质中进入的能量、来自交点p0反射的能量。

怎么求解Li(p, w)呢？
当然是用Monte Carlo方法来解这个积分方程。

设：f(s)表示光线上[p,p0]之间任意位置进入的经过衰减后返回到p点的能量。那么，

Monte Carlo方法当然是“采样、累加、求平均”啦！即：

现在需要求采样点sj对应的f(sj)和p(sj)。
分两种情况：

1，采样点在Medium中，0 < sj < t。
设该介质在w方向上是均匀的，设在介质中离p点单位距离被采样到的概率为p_medium(t’)，那么：
。
另外，

2，采样点在Surface上，sj = t（或者说sj >= t。因为是沿着光线采样，先判断采样点是否在Medium中。若不在Medium中，则在Surface上）。

这个采样具体怎么执行呢？
一般是对图片上单像素点进行N采样，每次采样对应一条光线（即，会有N条光线从p点出来），然后产生一个[0,1]之间的随机数sui，那么sj=sui*t，然后判断sj的位置是在Medium中还是Surface上，然后计算相应的p(sj)和f(sj)。
至于“累加，求平均”，单像素点的采样计算会cover到。

另外：

程序实现上，会根据sj的位置计算出一个衰减系数beta（beta_medium或者beta_surface）。
由于f(sj)的不同，计算beta_medium和beta_surface的方式也是有差异的。

特别注意：

beta_medium表示直接光照进入介质后的衰减情况。

beta_surface表示Surface反射的光线进入介质后的衰减情况。所以，这种情况下总的衰减系数要在beta_surface的基础上再乘以直接光照和Surface相互作用时产生的衰减系数。

二、构建“体渲染”积分器的路径

1，光线从相机p0（为了便于描述路径，此处标记为p0，相当于“一、那张关键的图”中的p）出发，这条光线可能和场景中的几何物体发生撞击，也可能不发生撞击。考虑这两种情况：情况1，有交点，对应一个ray.tmax（即撞击点到光线起点的距离t）；情况2，没有交点，ray.tmax还是初始值infinity()。
2，在含Medium的场景中沿着这条光线进行采样，采样点对应着一个t=sj。若sj小于ray.tmax，则采样点在Medium中；反之，采样点在Surface上。（注意到，如果“步骤1”中是“没有交点”的情况，则采样点必定在Medium中）。这个采样点就是p1（相当于“一、那张关键的图”中的p）。
3，若p1在surface上，情况则和“路径追踪”积分器是一样的，即：对p1点的BSDF1进行采样，得到一个方向wi1。若p1在medium中，则对p1点的Phase1进行采样，得到一个方向wi1。
4，新的光线从p1点沿着wi1出发……（重复“步骤1”，然后得到采样点p2、…、pn）

和“路径追踪”积分器一样，最终会得到这么一张路径图：

或者：

“体渲染”积分器和“路径追踪”积分器差异的地方：
“路径追踪”积分器中的p1、p2、……p(n-1)都是光线撞击Surface得到的，p1、p2、……p(n-1)在Surface上；
“体渲染”积分器中的p1、p2、……p(n-1)都是沿着光线采样得到的，p1、p2、……p(n-1)可能是在Medium中，也可能是在Surface上。

三、单一路径上返回到相机的光的计算

“路径追踪”积分器的做法是：
长度为i的路径上返回到相机的光的计算式子：

对于“体渲染”积分器，长度为i的路径上返回到相机的光的计算是类似的。
即：长度为i-1的路径上累积的衰减系数*第i-1个顶点上的直接光照的贡献。

差异的地方在于：
1，直接光照从光源到第i-1个顶点的过程也会因为Medium的存在而产生衰减（这个在EstimateDirect()是考虑）；
2，系数累积：若第i-1个顶点在Medium中，无需对直接光照和该顶点的相互作用的衰减进行累积，因为beta_medium包含这个衰减；若第i-1个顶点在Surface上，需要累积直接光照和该顶点相互作用产生的衰减。

四、“体渲染”积分器的细节部分

通过前面的内容，对“体渲染”积分器有了大体的理解。
但是，并未涉及具体细节。比如：

1，光线在Medium中的散射过程、散射类型。
2，光线在不同Medium传播时，衰减系数Tr的具体计算。
3，直接光照进入Medium时在某个方向上的衰减情况，对应Phase函数的计算。
4，怎么对Medium进行采样（获得采样点之后，再能进一步判断采样点是在Medium中还是在Surface上）？不同的类型的Medium采样方式是不一样的。（Homogeneous Medium（均匀介质）, Grid Medium（非均匀介质））
5，怎么对Phase函数进行采样（即，当某个顶点在Medium时，接下来光线应该往哪个方向传呢？这个方向有Phase函数决定）
……

还有各种细节需要学习。

但是，重点，
如果对“体渲染”积分器没有整体的理解，一开始就学习各种细节的话，那么非常容易、特别有可能直接陷入各种细节中。
然后，迷迷糊糊，云里雾里：不知道讲的是什么；不知道讲这个有什么用；只认识字（还多单词还不认识），不知道具体讲什么；……