LightOJ1132---Summing up Powers （矩阵快速幂+二项式定理（简单推理））

【题目来源】：https://vjudge.net/problem/LightOJ-1132
【题意】
题意呢，就像题面描述的一样。。。
【思路】
首先，这道题因为存在递推式，并且，N非常之大，所以想到矩阵快速幂，接着，整体思路为（假设前n项和为Sn）：
S(n+1)=Sn+(n+1)^k
然后按照一般的步骤（将左边，右边化为后，前两个状态，也即是说，后一状态可由前一状态递推而来），但是呢，遇到了一点阻碍，怎么样才可以将(n+1)^k化为关于n的递推式呢？
进而想到二项式定理：
(a+b)^k=C(0,k)*a^k*b^0+C(1,k)*a^k-1*b^1+…+C(k,k)*a^0*b^k;
而在这里（1的多少次方均为1，乘法不做记录）：
(n+1)^k=C(0,k)*n^k+C(1,k)*n^k-1+…+C(k,k)*n^0;
所以这道题化为矩阵快速幂的递推式就出来了：
S(n+1)=Sn+C(0,k)*n^k+C(1,k)*n^k-1+…+C(k,k)*n^0;
写出系数矩阵：

【代码】

#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define LL long longusing namespace std;LL N,mod;int K;struct mat{    LL a[55][55];};LL z_h[55][55];//预处理k的所有可能性的二项式系数mat operator*(mat s,mat t){    mat r;    for(int i=1; i<=K+2; i++)        for(int j=1; j<=K+2; j++)        {            r.a[i][j]=0;            for(int k=1; k<=K+2; k++)                if(s.a[i][k]&&t.a[k][j])                {                    r.a[i][j]+=s.a[i][k]*t.a[k][j]%mod;                    r.a[i][j]%=mod;                }        }    return r;}void init(){    mod=1;    for(int i=1; i<=32; i++)    {        mod*=2;    }    for(int i=1; i<=50; i++)    {        z_h[i][1]=1;        int x=i;        for(int j=2; j<=i+1; j++)        {            z_h[i][j]=z_h[i][j-1]*x/(j-1);            x--;        }    }}mat pow_mat(mat base){    mat ans;    memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));    for(int i=1; i<=K+2; i++)    {        ans.a[i][i]=1;    }    N-=1;    while(N)    {        if(N&1)        {            ans=ans*base;        }        base=base*base;        N>>=1;    }    return ans;}int main(){    init();    int T,cases=1;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%lld%d",&N,&K);        mat base;        memset(base.a,0,sizeof(base.a));        int x=K;        for(int i=2; i<=K+2; i++)        {            int y=1;            for(int j=i; j<=K+2; j++)            {                base.a[i][j]=z_h[x][y++];            }            x--;        }        base.a[1][1]=1;        base.a[K+2][K+2]=1;        for(int i=2; i<=K+2; i++)        {            base.a[1][i]=base.a[2][i];        }        mat ans=pow_mat(base);        LL sum=0;        for(int i=1; i<=K+2; i++)        {            sum+=ans.a[1][i]%mod;            sum%=mod;        }        printf("Case %d: %lld\n",cases++,sum);    }}