【数据结构】图的介绍

1.图的定义

• 图是一种复杂的非线性结构。

• 在图形结构中，节点之间的关系是任意的，图中任意两个数据元素之间都有可能相关。

• 图G由两个集合V(顶点Vertex)和E(边Edge)组成，定义为G=(V，E)

2.图的相关概念

（1）有向图与无向图

• 有向图：顶点对< x ,y >是有序的；无向图：顶点对< x,y >是无序的。

• 无向图：图中任意两个顶点时间的边都是无向边（顶点Vi到Vj之间的边没有方向）。

（2）完全无向图与完全有向图

• 完全无向图：若有n个顶点的无向图有n(n-1)/2 条边, 即任意两个顶点之闻都存在边

• 完全有向图：有n个顶点的有向图有n(n-1)条边, 即任意两个顶点之阅都存在方向互为相反的两条弧

（3）权与网

• 权：与图的边或弧相关的数

• 网：带权的图

（4）度

• 无向图顶点的边数叫做度

• 有向图顶点分为入度和出度。

（5）其它

• 自环（Loop）：若一条边的两个顶点为同一顶点，则此边称作自环。

• 路径（Path）：路径长度：指一条路径上经过的边的数量。回路：指一条路径的起点和终点为同一个顶点。

• 连通图：如果在一个无向图中从每一个顶点到每个其他顶点都存在一条路径，则称该无向图是联通的，具有这样的有向图成为强连通图。

3.图的存储结构

（1）邻接矩阵

邻接矩阵( Adjacency Matrix) 存储方式是用两个数组来表示圈。一个一维数组存储圈中顶点信息，一个二维数组〈称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。

（2）邻接表

数组与链表相结合的存储方法称为邻接表，关心出度问题，但想了解入度就必须要遍历整个图才知道。而逆邻接表解决了入度却不了解出度的情况。

（3）十字链表

把邻接表和逆邻接表结合起来

（4）边集数组

边集数组是由两个一维数组构成。一个是存储顶点的信息;另一个是存储边的信息，这个边数组每个数据元素由一条边的起点下标( begin ) 、终点下标( end ) 和权(weigbt) 组成

（5）图解

4.图的遍历方式

（1）深度优先遍历

• 深度优先遍历，也有称为深度优先搜索，简称DFS。其实，就像是一棵树的前序遍历。

• 它从图中某个结点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中的所有顶点都被访问到为止。

（2）广度优先搜索遍历

• 广度优先搜索遍历BFS类似于树的按层次遍历

• 首先访问出发点Vi，接着依次访问Vi的所有未被访问过的邻接点Vi1，Vi2，Vi3，…，Vit并均标记为已访问过。然后再按照Vi1，Vi2，… ，Vit的次序，访问每一个顶点的所有未曾访问过的顶点并均标记为已访问过，依此类推，直到图中所有和初始出发点Vi有路径相通的顶点都被访问过为止。

5.最小生成树

（1）定义

• 生成树是将图中所有顶点以最少的边连通的子图。

• 构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树

（2）两种算法

• 克鲁斯卡尔算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，适用于稀疏图

• 普里姆算法对于边数非常多的情况效率高，适用于稠密图。

6.最短路径

（1）定义

两顶点之间经过的边上权值之和最少的路径，并且我们称路径上的第一个顶点是源点，最后一个顶点是终点

（2）两种算法

• 弗洛伊德( Floyd )算法适用于求所有顶点至所有顶点的最短路径问题

• 迪杰斯特拉( Dijkstra ) 算法：按路径长度递增的次序产生最短路径，时间复杂度是O(n2) 。

7.拓扑排序

设G=(v，E)是一个具有n 个顶点的有向图， V 中的顶点序列Vl ，V2，… … ， Vn ,满足若从顶点VI 到V，有一条路径， 则在顶点序列中顶点V，必在顶点Vj 之前。则我们称这样的顶点序列为一个拓扑序到。即对一个有向图构造拓扑序列的过程。

本人才疏学浅，若有错，请指出
谢谢！