倍增lca学习笔记（codevs2370小机房的树题解）

lca即为最近公共祖先，求两个点的lca有两种方法，一是暴力求解，二是倍增求解。
这里主要讲倍增求解lca，时间复杂度nlogn。
主要思想：
首先用一个数组anc[u][i]表示从u节点跳2^i步到得位置，deep[]表示深度
关于anc数组有一个递推公式：anc[u][i] = anc[anc[u][i-1]][i-1]; 这个公式就是先从u点跳2^i-1步再从anc[u][i-1]这个位置跳2^i-1步到达跳2^i的位置。假如树边上有权值的话，我们算dis[u->v]的权值可以用到lca，即dis[u->v]=dis[u]+dis[v]-2*dis[lca(u,v)]。预处理anc时是anc[u][0] = fa(父节点)。OK,找lca时首先让两个节点到达同一深度，先使u处在较深的地方，算出u，v的高度差d，把d转换成二进制，假如是0101，那么就需要u往上跳2^0+2^2步，所以这里用到位运算：if（dd&(1< < i))
就是如果d的i位是1，就跳2^i步，记得i是从0开始的，等跳到和v同一深度以后，在和V一起往上跳，这时候我们刚开始要跳的远一点，如果超出了就不跳，如果没超出并且也不是到达公共祖先就跳，这样跳到最后，u和v一定是最近公共祖先的左右两个子节点，这时候他们的lca就是他们的父节点。
以小机房的树为例，代码如下

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const int MAXN = 50000+5;int head[MAXN],tot,dis[MAXN],anc[MAXN][21],deep[MAXN];bool vis[MAXN];struct Edge{    int from,to,cos,nxt;}e[MAXN <<2];void build(int f,int t,int d){    e[++tot] = (Edge){f,t,d};    e[tot].nxt = head[f];    head[f] = tot;}void dfs(int u){    vis[u] = 1;//由于是建的是双向边，这里一定要做标记     for(int i = 1; i <= 20; i ++)    {        anc[u][i] = anc[anc[u][i-1]][i-1];//递推式     }    for(int i = head[u]; i ; i = e[i].nxt)//遍历边     {        int t = e[i].to ;        if(vis[t]) //如果处理过这条边就不再处理         continue;        anc[t][0] = u;//下一个点的父亲节点是该点         deep[t] = deep[u]+1;         dis[t] = dis[u]+e[i].cos;//更新权值         dfs(t);    }}int lca(int u,int v){    if(deep[u] < deep[v])//将u变成较深的那个点     swap(u,v);    int dd = deep[u] - deep[v];    for(int i = 0;i <= 20; i ++)    if(dd&(1<<i))    u = anc[u][i];//跳到与v同一深度     for(int i = 20 ; i >= 0 ; i --)    {        if(anc[u][i] != anc[v][i])//一同往上跳         {            u = anc[u][i];            v = anc[v][i];        }    }    if(u == v)    return u;    else    return anc[u][0];//返回它们的父节点即lca }int main(){    int n,m;    scanf("%d",&n);    int u,v,c;    for(int i = 1; i <= n-1; i ++)    {        scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);        build(u,v,c);        build(v,u,c);        anc[u][0] = v;//预处理跳2^0步即跳到父节点         anc[v][0] = u;    }    dis[0]=0;    dfs(0);    scanf("%d",&m);    for(int i = 1; i <= m; i ++)    {        int u,v;        scanf("%d%d",&u,&v);        printf("%d\n",dis[u]+dis[v] - 2*dis[lca(u,v)]);    }    return 0;}