解题报告：BZOJ_3994 约数个数和 莫比乌斯反演学习题

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题意：

给定n,m，求公式，d(x)为x的约数个数

思路：

这题比较适合反演的学习，因为要用到反演经常用的技巧(公式)

首先需要将d(ij)进行变化，这里有公式：

( 这个公式还可以推到两个，三个的乘积 )

那么就可以推到：

然后就出了gcd()==1的式子，这时候就可以用莫比乌斯反演经常会用到的公式之一：

将公式变化整理一下为：

下一步也要用到莫比乌斯反演经常要用到的技巧——转换枚举的变量：我们可以将后三个求和式转换成枚举gcd(n,m)的因子d，然后统计d对应的贡献：

然后继续转换枚举变量：枚举所有d，统计它对应的贡献：

到这一步就能发现后面的两个求和是一个东西，而且都可以在O( n*sqrt(n) )内预处理出来

设这个式子为，可以发现g(x+1) - g(x) = d(x+1)，利用这个递推式可以利用类似于埃氏筛的方法更快的在O(n log(n) )内完成g(x)的预处理。

最后就可以对每个询问在O( sqrt(n) ) 内得出结果。

代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int MAXN = 5e4+10;bool Np[MAXN];vector<int>pr;int mu[MAXN];int sum[MAXN];long long F[MAXN];long long D[MAXN];void init(){   mu[1] = sum[1] = 1;   for(int i=2;i<MAXN;i++){      if(!Np[i]){         pr.push_back(i);         mu[i] = -1;      }for(int j=0;j<pr.size();j++){         int t = pr[j] * i;         if(t>=MAXN)break;         Np[t] = true;         if(i%pr[j]==0){            mu[t] = 0;            break;         }mu[t] = -mu[i];      }sum[i] = sum[i-1] + mu[i];   }   for(int n=1;n<MAXN;n++){      for(int j=n;j<MAXN;j+=n){         D[j]++;      }F[n] = F[n-1] + D[n];   }}int main(){   init();   int T;   scanf("%d",&T);   int n,m;   while(T--){      scanf("%d%d",&n,&m);      long long ans = 0;      if(n>m)swap(n,m);      for(int g=1,last;g<=n;g=last+1){         last = min( n/(n/g) , m/(m/g) );         int a = n/g , b = m/g;         ans += 1LL * (sum[last]-sum[g-1]) * F[a] * F[b];      }printf("%lld\n",ans);   }return 0;}