51nod 1630 B君的竞技场

1630 B君的竞技场

原题连接：
https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1630

概率题。纯数学。

题目中的四个要求：

我们将竞技场规则简化如下：1. 每个人进入竞技场后，会等概率随机匹配一个人，匹配到的人与当前胜利和失败场数无关。2. 胜利达到x场，或失败达到y场后，退出竞技场，根据退出时的胜利场数获得奖励，不能中途放弃。3. 水平高的选手，总能战胜水平低的选手，不存在水平相等的人。4. 竞技场有无穷多的人。

因为题目给定无穷的人数，其实暗示人数不重要。可以某种方法消去n的影响

我们设总人数为：n

因为没有实力相同的两个人。所以每个人相对实力是确定的。（也就是说实力排名是确定的）

给出n个实力级别：

1,2,3,4,5,6,....n

那么 b 君的实力级别为 i 时她的胜场概率为：

P(i)=i−1n

设 B君的胜场概率实为 P(i) 时，得分期望为 E(P(i))

则B君的实际望为：

answer=1n∑i=1nE(P(i))=∑i=1n1n∗E(P(i))=∑i=1n1n∗E(i−1n)=∑i=0n−11n∗E(in)

所以，answer等于n趋近于∞时候的答案:

answer=limn−>∞∑i=0n−11n∗E(in)

在任何一本高数书上都可以找到计算上面和式的方法。

对于一般的积分计算，等效于把区间无限微分后得到的答案。

例如：

∫baf(x) dx

如果对于x∈[a,b]，函数 f(x) 都是有意义的

我们把区间[a,b]分割为n分

当n足够大时。对于每一小段。我们认为 f(x) 变化很小。

此时第 i 小段。与x轴和曲线f(x)围成的面积近似为（n−>∞时可以认为相等）：

b−anf((i−1)(b−a)n)

所以：

∫baf(x) dx=limn−>∞∑i=1nb−anf((i−1)(b−a)n)=limn−>∞∑i=0n−1b−anf(i∗(b−a)n)

所以：

answer=∫10E(p) dp=limn−>∞∑i=0n−11nE(in)

p 是b君每一场比赛胜利的概率。

当b君每场比赛胜利概率为 p 时。他得分的期望分为两部分。

第一部分：最后一场比赛胜利。总胜利场次x。退出游戏

第二部分：最后一场比赛失败。总是败场次y。退出游戏

注意。退出游戏的原因要么因为失败太多。要么因为胜利太多。

对于第一部分。必然胜利了x场。枚举失败场次，记 失败了k场：

则。这部分的贡献为：

∑0<=k<ypx(1−p)k(x+k−1k)

上面的公式可以理解为：当我们比赛 x+k 场时。最后一场比赛必须胜利。那么失败场次可供选择的位置只有 x+k−1 个

同理。记 t 胜利场次。第二部分的贡献为

∑0<=t<xpt(1−p)y(y+t−1t)

所以 E(p) 有：

E(p)=∑0<=k<ypx(1−p)k(x+k−1k)+∑0<=t<xpt(1−p)y(y+t−1t)

所以：

answer=∫10E(p) dpE(p)=∑0<=k<ypx(1−p)k(x+k−1k)+∑0<=t<xpt(1−p)y(y+t−1t)

可以用 辛普森积分 的模版计算上面在区间[0,1]上的积分

对于组合数可以利用帕斯卡公式求的：

(nk)=(n−1k)+(n−1k−1)

下面是AC代码

#include <stdio.h>#include <algorithm>#include <string.h>using namespace std;typedef long long LL;const LL N=10000;LL C[50][50]={1};LL W[50][50];LL x,y;void init(){    for(int n=1;n<41;n++)    {        C[n][0]=1;        for(int k=1;k<=n;k++)        {            C[n][k]=C[n-1][k-1]+C[n-1][k];        }    }}double pow(double P,LL b){    double ans=1;    while(b)    {        if(b&1)            ans*=P;        b>>=1;        P*=P;    }    return ans;}double f( double P){    double ans=0;    for(LL j=0;j<y;j++)    {        ans+=(double)(x*W[x][j])*pow(P,x)*pow(1-P,j);    }    for(LL j=0;j<x;j++)    {        ans+=(double)(j*W[j][y])*pow(P,j)*pow(1-P,y);    }    return ans;}double simpson(double a,double b,LL n){    const double h=(b-a)/n;    double ans=f(a)+f(b);    for(int i=1;i<n;i+=2)ans+=4*f(a+i*h);    for(int i=2;i<n;i+=2)ans+=2*f(a+i*h);    return ans*h/3;}int main (){    init();    scanf("%lld %lld",&x,&y);    for(LL j=0;j<y;j++)        W[x][j]=C[x+j-1][j];    for(LL j=0;j<x;j++)        W[j][y]=C[y+j-1][j];    printf("%lf\n",simpson(0,1,N));    return 0;}