汉诺塔问题递归算法分析

（转自http://www.360doc.com/content/12/0727/11/219024_226737868.shtml）

递归实现了某种类型的螺旋状while循环。while循环在循环体每次执行时必须取得某种进展，逐步迫近循环终止条件。

递归函数也是如此，它在每次递归调用后必须越来越接近某种限制条件。当递归函数符合这个限制条件时，它便不在调用自身。

递归算法的特点

　　递归算法是一种直接或者间接地调用自身的算法。在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。

　　递归算法解决问题的特点：

　　(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。

　　(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。

　　(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法设计程序。

　　(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。所以一般不提倡用递归算法设计程序。

递归算法要求

　　递归算法所体现的“重复”一般有三个要求：

　　一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)；

　　二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；

三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。
　　一个庙里有三个柱子，第一个有64个盘子，从上往下盘子越来越大。要求庙里的老和尚把这64个盘子全部移动到第三个柱子上。移动的时候始终只能小盘子压着大盘子。而且每次只能移动一个。

　　1、此时老和尚（后面我们叫他第一个和尚）觉得很难，所以他想：要是有一个人能把前63个盘子先移动到第二个柱子上，我再把最后一个盘子直接移动到第三个柱子，再让那个人把刚才的前63个盘子从第二个柱子上移动到第三个柱子上，我的任务就完成了，简单。所以他找了比他年轻的和尚（后面我们叫他第二个和尚），命令：

      ① 你丫把前63个盘子移动到第二柱子上      ② 然后我自己把第64个盘子移动到第三个柱子上后      ③ 你把前63个盘子移动到第三柱子上   2、第二个和尚接了任务，也觉得很难，所以他也和第一个和尚一样想：要是有一个人能把前62个盘子先移动到第三个柱子上，我再把最后一个盘子直接移动到第二个柱子，再让那个人把刚才的前62个盘子从第三个柱子上移动到第三个柱子上，我的任务就完成了，简单。所以他也找了比他年轻的和尚（后面我们叫他第三和尚），命令：      ① 你把前62个盘子移动到第三柱子上      ② 然后我自己把第63个盘子移动到第二个柱子上后      ③ 你把前62个盘子移动到第二柱子上

　　3、第三个和尚接了任务，又把移动前61个盘子的任务依葫芦话瓢的交给了第四个和尚，等等递推下去，直到把任务交给了第64个和尚为止（估计第64个和尚很郁闷，没机会也命令下别人，因为到他这里盘子已经只有一个了）。

　　4、到此任务下交完成，到各司其职完成的时候了。完成回推了：

第64个和尚移动第1个盘子，把它移开，然后第63个和尚移动他给自己分配的第2个盘子。
第64个和尚再把第1个盘子移动到第2个盘子上。到这里第64个和尚的任务完成，第63个和尚完成了第62个和尚交给他的任务的第一步。

从上面可以看出，只有第64个和尚的任务完成了，第63个和尚的任务才能完成，只有第2个和尚—-第64个和尚的任务完成后，第1个和尚的任务才能完成。这是一个典型的递归问题。

/**************************************************************/

/*

现在我们以有3个盘子来分析：

第1个和尚命令：

① 第2个和尚你先把第一柱子前2个盘子移动到第二柱子。（借助第三个柱子）

② 第1个和尚我自己把第一柱子最后的盘子移动到第三柱子。

③ 第2个和尚你把前2个盘子从第二柱子移动到第三柱子。

　　　很显然，第二步很容易实现（哎，人总是自私地，把简单留给自己，困难的给别人）。

其中第一步，第2个和尚他有2个盘子，他就命令：

① 第3个和尚你把第一柱子第1个盘子移动到第三柱子。（借助第二柱子）

② 第2个和尚我自己把第一柱子第2个盘子移动到第二柱子上。

③ 第3个和尚你把第1个盘子从第三柱子移动到第二柱子。

　　　同样，第二步很容易实现，但第3个和尚他只需要移动1个盘子，所以他也不用在下派任务了。

（注意：这就是停止递归的条件，也叫边界值）

第三步可以分解为，第2个和尚还是有2个盘子，命令：

① 第3个和尚你把第二柱子上的第1个盘子移动到第一柱子。

② 第2个和尚我把第2个盘子从第二柱子移动到第三柱子。

③ 第3个和尚你把第一柱子上的盘子移动到第三柱子。

分析组合起来就是：1→3 1→2 3→2 借助第三个柱子移动到第二个柱子

|1→3 自私人留给自己的活| 2→1 2→3 1→3 借助第一个柱子移动到第三个柱子|共需要七步。

   如果是4个盘子，则第一个和尚的命令中第1步和第3步各有3个盘子，   所以各需要7步，共14步，再加上第1个和尚的1步，   所以4个盘子总共需要移动 7+1+7=15步，   同样，5个盘子需要15+1+15=31步，6个盘子需要31+1+31=64步……   由此可以知道，移动n个盘子需要（2的n次方）-1步。

从上面整体综合分析可知把n个盘子从1座（相当第一柱子）移到3座（相当第三柱子）：

（1）把1座上（n-1）个盘子借助3座移到2座。

（2）把1座上第n个盘子移动3座。

（3）把2座上（n-1）个盘子借助1座移动3座。

   下面用hanoi（n,a,b,c）表示把1座n个盘子借助2座移动到3座。     很明显:        (1)步上是 hanoi(n-1,1,3,2)     (3)步上是 hanoi(n-1,2,1,3)     用C语言表示出来，就是：

把第 1 个盘子 从 A座 搬到 C座

把第 2 个盘子 从 A座 搬到 B座

把第 1 个盘子 从 C座 搬到 B座

把第 3 个盘子 从 A座 搬到 C座

把第 1 个盘子 从 B座 搬到 A座

把第 2 个盘子 从 B座 搬到 C座

把第 1 个盘子 从 A座 搬到 C座

/************************************************************************/#include <stdio.h>#include <iostream>using namespace std;//入参int n:代表第n个盘子int move(int n,char a, char b){    printf("==>==>:    把第 %d 个盘子 从 %c座 搬到 %c座\n\n",n,a,b);    return 0;}//入参int n：代表 共剩余n个盘子int hanoi(int n,char a,char b,char c){    cout<<"******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!"<<endl;    if (n == 1){       cout<<"剩余盘子数 n="<<n<<"，盘子在"<<a<<"座上，可以直接搬到"<<c<<"座"<<endl;     }else{       cout<<"剩余盘子数 n="<<n<<"，盘子在"<<a<<"座上，需借助"<<b<<"座，搬到"<<c<<"座"<<endl;     }    if( n==1 ){       cout<<endl<<"11111=>: ";       move (1,a,c);    }else{       hanoi(n-1,a,c,b);//根据上面解说知道：移动n个盘子需要（2的n次方）-1步，这里需要移动n-1个盘子需要（2的n次方）-2步，也就是说这里的第一轮递归 要进行 n-1 层递归循环，才会结束调用，完成 将  n-1 个盘子从a座上借助c座，最终放到了b座上，       move(n,a,c);//完成 将 最后一个盘子即第 n 个盘子从a座上放到了c座上，至此完成第一轮的调用，其结果是将最后一个盘子完成了任务，其余的盘子都还在b座上放着呢，下面一步是对剩余的n-1个盘子进行新一轮的递归调用       hanoi(n-1,b,a,c);//开启新一轮的递归调用     };     if (n == 1) {        cout<<"对应-----------剩余盘子数 n="<<n<<"，盘子在"<<a<<"座上，可以直接搬到"<<c<<"座"<<endl;      }else{        cout<<"对应-----------剩余盘子数 n="<<n<<"，盘子在"<<a<<"座上，需借助"<<b<<"座，搬到"<<c<<"座"<<endl;      }      cout<<"int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end  end end end end @@@!!!@@@"<<endl<<endl;      return 0; }int main(){      freopen("hanoi.in","r",stdin);      freopen("hanoiOutPut.txt","w",stdout);      int num;      scanf("%d",&num);      cout<<"开始"<<endl<<endl;      hanoi(num,'A','B','C');      cout<<endl<<endl<<"结束"<<endl<<endl;      return 0;}

开始

******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!

剩余盘子数 n=3，盘子在A座上，需借助B座，搬到C座

******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!

剩余盘子数 n=2，盘子在A座上，需借助C座，搬到B座

******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!

剩余盘子数 n=1，盘子在A座上，可以直接搬到C座

11111=>: ==>==>: 把第 1 个盘子 从 A座 搬到 C座

对应———–剩余盘子数 n=1，盘子在A座上，可以直接搬到C座

int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@

==>==>: 把第 2 个盘子 从 A座 搬到 B座

******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!

剩余盘子数 n=1，盘子在C座上，可以直接搬到B座

11111=>: ==>==>: 把第 1 个盘子 从 C座 搬到 B座

对应———–剩余盘子数 n=1，盘子在C座上，可以直接搬到B座

int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@

对应———–剩余盘子数 n=2，盘子在A座上，需借助C座，搬到B座

int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@

==>==>: 把第 3 个盘子 从 A座 搬到 C座

******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!

剩余盘子数 n=2，盘子在B座上，需借助A座，搬到C座

******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!

剩余盘子数 n=1，盘子在B座上，可以直接搬到A座

11111=>: ==>==>: 把第 1 个盘子 从 B座 搬到 A座

对应———–剩余盘子数 n=1，盘子在B座上，可以直接搬到A座

int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@

==>==>: 把第 2 个盘子 从 B座 搬到 C座

******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!

剩余盘子数 n=1，盘子在A座上，可以直接搬到C座

11111=>: ==>==>: 把第 1 个盘子 从 A座 搬到 C座

对应———–剩余盘子数 n=1，盘子在A座上，可以直接搬到C座

int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@

对应———–剩余盘子数 n=2，盘子在B座上，需借助A座，搬到C座

int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@

对应———–剩余盘子数 n=3，盘子在A座上，需借助B座，搬到C座

int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@

结束