汉诺塔问题递归算法分析
来源：互联网 发布：网络球型摄像机 编辑：程序博客网 时间：2024/05/21 16:23
转自 360doc http://www.360doc.com/content/12/0727/11/219024_226737868.shtml
汉诺塔问题递归算法分析：
递归实现了某种类型的螺旋状while循环。while循环在循环体每次执行时必须取得某种进展，逐步迫近循环终止条件。
递归函数也是如此，它在每次递归调用后必须越来越接近某种限制条件。当递归函数符合这个限制条件时，它便不在调用自身。
递归算法的特点
递归算法是一种直接或者间接地调用自身的算法。在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。
递归算法解决问题的特点：
(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。
(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法设计程序。
(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。所以一般不提倡用递归算法设计程序。
递归算法要求
递归算法所体现的“重复”一般有三个要求：
一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)；
二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；
三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。一个庙里有三个柱子，第一个有64个盘子，从上往下盘子越来越大。要求庙里的老和尚把这64个盘子全部移动到第三个柱子上。移动的时候始终只能小盘子压着大盘子。而且每次只能移动一个。
1、此时老和尚（后面我们叫他第一个和尚）觉得很难，所以他想：要是有一个人能把前63个盘子先移动到第二个柱子上，我再把最后一个盘子直接移动到第三个柱子，再让那个人把刚才的前63个盘子从第二个柱子上移动到第三个柱子上，我的任务就完成了，简单。所以他找了比他年轻的和尚（后面我们叫他第二个和尚），命令：
①你丫把前63个盘子移动到第二柱子上
②然后我自己把第64个盘子移动到第三个柱子上后
③你把前63个盘子移动到第三柱子上
2、第二个和尚接了任务，也觉得很难，所以他也和第一个和尚一样想：要是有一个人能把前62个盘子先移动到第三个柱子上，我再把最后一个盘子直接移动到第二个柱子，再让那个人把刚才的前62个盘子从第三个柱子上移动到第三个柱子上，我的任务就完成了，简单。所以他也找了比他年轻的和尚（后面我们叫他第三和尚），命令：
①你把前62个盘子移动到第三柱子上
②然后我自己把第63个盘子移动到第二个柱子上后
③你把前62个盘子移动到第二柱子上
3、第三个和尚接了任务，又把移动前61个盘子的任务依葫芦话瓢的交给了第四个和尚，等等递推下去，直到把任务交给了第64个和尚为止（估计第64个和尚很郁闷，没机会也命令下别人，因为到他这里盘子已经只有一个了）。
4、到此任务下交完成，到各司其职完成的时候了。完成回推了：
第64个和尚移动第1个盘子，把它移开，然后第63个和尚移动他给自己分配的第2个盘子。
第64个和尚再把第1个盘子移动到第2个盘子上。到这里第64个和尚的任务完成，第63个和尚完成了第62个和尚交给他的任务的第一步。
/************************************************************************/
/*
现在我们以有3个盘子来分析：
第1个和尚命令：
①第2个和尚你先把第一柱子前2个盘子移动到第二柱子。（借助第三个柱子）
②第1个和尚我自己把第一柱子最后的盘子移动到第三柱子。
③第2个和尚你把前2个盘子从第二柱子移动到第三柱子。
很显然，第二步很容易实现（哎，人总是自私地，把简单留给自己，困难的给别人）。
其中第一步，第2个和尚他有2个盘子，他就命令：
①第3个和尚你把第一柱子第1个盘子移动到第三柱子。（借助第二柱子）
②第2个和尚我自己把第一柱子第2个盘子移动到第二柱子上。
③第3个和尚你把第1个盘子从第三柱子移动到第二柱子。
同样，第二步很容易实现，但第3个和尚他只需要移动1个盘子，所以他也不用在下派任务了。
（注意：这就是停止递归的条件，也叫边界值）
第三步可以分解为，第2个和尚还是有2个盘子，命令：
①第3个和尚你把第二柱子上的第1个盘子移动到第一柱子。
②第2个和尚我把第2个盘子从第二柱子移动到第三柱子。
③第3个和尚你把第一柱子上的盘子移动到第三柱子。
分析组合起来就是：1→3 1→2 3→2 借助第三个柱子移动到第二个柱子
|1→3自私人留给自己的活| 2→1 2→3 1→3借助第一个柱子移动到第三个柱子|共需要七步。
如果是4个盘子，则第一个和尚的命令中第1步和第3步各有3个盘子，
所以各需要7步，共14步，再加上第1个和尚的1步，
所以4个盘子总共需要移动 7+1+7=15步，
同样，5个盘子需要15+1+15=31步，6个盘子需要31+1+31=64步……
由此可以知道，移动n个盘子需要（2的n次方）-1步。
从上面整体综合分析可知把n个盘子从1座（相当第一柱子）移到3座（相当第三柱子）：
（1）把1座上（n-1）个盘子借助3座移到2座。
（2）把1座上第n个盘子移动3座。
（3）把2座上（n-1）个盘子借助1座移动3座。
下面用hanoi（n,a,b,c）表示把1座n个盘子借助2座移动到3座。
很明显:
(1)步上是 hanoi(n-1,1,3,2)
(3)步上是 hanoi(n-1,2,1,3)
用C语言表示出来，就是：
把第 1 个盘子从 A座搬到 C座
把第 2 个盘子从 A座搬到 B座
把第 1 个盘子从 C座搬到 B座
把第 3 个盘子从 A座搬到 C座
把第 1 个盘子从 B座搬到 A座
把第 2 个盘子从 B座搬到 C座
把第 1 个盘子从 A座搬到 C座
*/
/************************************************************************/
#include <stdio.h>
#include <iostream>
usingnamespacestd;
//入参int n:代表第n个盘子
intmove(intn,chara,charb)
{
printf("==>==>: 把第 %d个盘子从 %c座搬到 %c座\n\n",n,a,b);
return 0;
}
//入参int n：代表共剩余n个盘子
int hanoi(intn,chara,charb,charc)
{
cout<<"******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!"<<endl;
if (n == 1)
{
cout<<"剩余盘子数 n="<<n<<"，盘子在"<<a<<"座上，可以直接搬到"<<c<<"座"<<endl;
}
else
{
cout<<"剩余盘子数 n="<<n<<"，盘子在"<<a<<"座上，需借助"<<b<<"座，搬到"<<c<<"座"<<endl;
}
if(n==1 )
{
cout<<endl<<"11111=>: ";
move (1,a,c);
}
else
{
hanoi(n-1,a,c,b);
move(n,a,c);
hanoi(n-1,b,a,c);
};
if (n == 1)
{
cout<<"对应-----------剩余盘子数 n="<<n<<"，盘子在"<<a<<"座上，可以直接搬到"<<c<<"座"<<endl;
}
else
{
cout<<"对应-----------剩余盘子数 n="<<n<<"，盘子在"<<a<<"座上，需借助"<<b<<"座，搬到"<<c<<"座"<<endl;
}
cout<<"int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@"<<endl<<endl;
return 0;
}
int main()
{
freopen("hanoi.in","r",stdin);
freopen("hanoiOutPut.txt","w",stdout);
intnum;
scanf("%d",&num);
cout<<"开始"<<endl<<endl;
hanoi(num,'A','B','C');
cout<<endl<<endl<<"结束"<<endl<<endl;
return 0;
}
开始
******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!
剩余盘子数 n=3，盘子在A座上，需借助B座，搬到C座
******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!
剩余盘子数 n=2，盘子在A座上，需借助C座，搬到B座
******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!
剩余盘子数 n=1，盘子在A座上，可以直接搬到C座
11111=>: ==>==>: 把第 1 个盘子 从 A座 搬到 C座
对应-----------剩余盘子数 n=1，盘子在A座上，可以直接搬到C座
int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@
==>==>: 把第 2 个盘子 从 A座 搬到 B座
******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!
剩余盘子数 n=1，盘子在C座上，可以直接搬到B座
11111=>: ==>==>: 把第 1 个盘子 从 C座 搬到 B座
对应-----------剩余盘子数 n=1，盘子在C座上，可以直接搬到B座
int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@
对应-----------剩余盘子数 n=2，盘子在A座上，需借助C座，搬到B座
int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@
==>==>: 把第 3 个盘子 从 A座 搬到 C座
******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!
剩余盘子数 n=2，盘子在B座上，需借助A座，搬到C座
******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!
剩余盘子数 n=1，盘子在B座上，可以直接搬到A座
11111=>: ==>==>: 把第 1 个盘子 从 B座 搬到 A座
对应-----------剩余盘子数 n=1，盘子在B座上，可以直接搬到A座
int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@
==>==>: 把第 2 个盘子 从 B座 搬到 C座
******************int hanoi(int n,char a,char b,char c) begin!!!
剩余盘子数 n=1，盘子在A座上，可以直接搬到C座
11111=>: ==>==>: 把第 1 个盘子 从 A座 搬到 C座
对应-----------剩余盘子数 n=1，盘子在A座上，可以直接搬到C座
int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@
对应-----------剩余盘子数 n=2，盘子在B座上，需借助A座，搬到C座
int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@
对应-----------剩余盘子数 n=3，盘子在A座上，需借助B座，搬到C座
int hanoi(int n,char a,char b,char c) end end end end end end @@@!!!@@@
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