最小生成树——Prim算法

最小生成树

  给定一个无向带权图，顶点数是n，要使图连通只需（n-1）条边，若这（n-1）条边的权值和最小，则称这n个顶点和（n-1）条边构成了图的最小生成树。

Prime算法

算法背景

  普里姆算法（Prim算法）是一种构造性算法。该算法于1930年有捷克数学家沃伊捷赫.亚尔尼克发现，并在1957年由美国计算机科学家罗伯特.普里姆独立发现，1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合下，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆-亚尔尼克算法。

算法过程

  Prim算法的大致思想：假设图G顶点集合为U，首先任选一点a作为起始点，加入集合V,再从集合U-V中找到另一点b使得b到V中任意一点的权值最小，把b加入集合V。以此类推，现在集合V={a，b}，再从集合U-V找到一点c使得c到V中任意一点的权值最小，将c加入集合V，此时就构建出一棵最小生成树。

为了便于在集合U和U-V之间选择权值最小的边，建立两个数组closest和lowcost。

lowcost[i]：表示以i为终点的边的最小权值，当lowcost[i]=0说明i点加入了最小生成树。

closest[i]:表示对应lowcost[i]的起点，即说明边（closest[i],i）是最小生成树的一条边，当closest[i]=0时说明起点i加入了最小生成树。

图中是用Prim算法构建最小生成树的过程。

下图是构建最小生成树过程中lowcost数组的变化

 
我们以0为初始点，进行初始化（！代表无穷大，即无通路）

lowset[1]=6，lowcost[2]=1，lowcost[3]=5，lowcost[4]=!，lowcost[5]=！
closest[1]=0，closest[2]=0，closest[3]=0，closest[4]=0，closest[5]=0（所有点默认起点是0）

权值最小的点是2，将点2加入集合V，对起始点0进行标记
 
lowcost[1]=5，lowcost[2]=0，lowcost[3]=5，lowcost[4]=6，lowcost[5]=4

closest[1]=2，closest[2]=0，closest[3]=0，closest[4]=2，closest[5]=2
权值最小的点是5，将点5加入集合V，对点2进行标记
 
lowcost[1]=5，lowcost[2]=0，lowcost[3]=2，lowsest[4]=6，lowcost[5]=0

closest[1]=2，closest[2]=0，closest[3]=5，closest[4]=2，closest[5]=0
权值最小的是点3，将点3加入集合V，对点5进行标记
 
lowcost[1]=5，lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowsest[4]=6，lowcost[5]=0

closest[1]=2，closest[2]=0，closest[3]=0，closest[4]=2，closest[5]=0
权值最小的点是点1，将点1加入集合V，对点3进行标记
 
lowcost[1]=0，lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=3，lowcost[5]=0
closest[1]=0，closest[2]=0，closest[3]=0，closest[4]=1，closest[5]=0
权值最小的点是点4，将点4加入集合V，将点1进行标记
 
这时一颗最小生成树就构建完成了。

算法代码

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <string.h>#define MAX 100#define MAXCOST 0x7fffffffusing namespace std;int graph[MAX][MAX];int Prim(int graph[][MAX],int n){    int lowcost[MAX];    int closest[MAX];    int i,j,min,minid,sum=0;    for(i=2; i<=n; i++)    {        lowcost[i]=graph[1][i];        closest[i]=1;    }    closest[1]=0;    for(i=2; i<=n; i++)    {        min=MAXCOST;        minid=0;        for(j=2; j<=n; j++)        {            if(lowcost[j]<min&&lowcost[j]!=0)            {                min=lowcost[j];                minid=j;            }        }        sum+=min;        lowcost[minid]=0;        for(j=2; j<=n; j++)        {            if(graph[minid][j]<lowcost[j])            {                lowcost[j]=graph[minid][j];                closest[j]=minid;            }        }    }    return sum;}int main(){    int i,j,k,m,n;    int x,y,cost;    cin>>m>>n;///顶点个数和边的个数    ///初始化图G    for(i=1; i<=m; i++)    {        for(j=1; j<=m; j++)            graph[i][j]=MAXCOST;    }    ///构建图G    for(k=1; k<=n; k++)    {        cin>>i>>j>>cost;        graph[i][j]=cost;        graph[j][i]=cost;    }    ///求解最小生成树    cost=Prim(graph,m);    cout<<"最小权值和="<<cost<<endl;    return 0;}

输入

6 10
1 2 6
1 3 1
1 4 5
2 3 5
2 5 3
3 4 5
3 5 6
3 6 4
4 6 2
5 6 6

 

输出

最小权值和=15