最小生成树——Prim算法

查看原文：http://www.wyblog.cn/2016/12/14/%e6%9c%80%e5%b0%8f%e7%94%9f%e6%88%90%e6%a0%91-prim%e7%ae%97%e6%b3%95/
一个无向图的最小生成树就是由该图的那些连接G的所有顶点的边构成的树，且其所有边权值之和最低。从定义可见，它是包含了图的所有顶点的最小树。求解最小生成树经典算法即为Prim算法。Prim算法是使得这个树一步步生长而成，因为最小生成树必定包含了所有顶点，所以可以任意选择起点。在生成树过程中的每一步，都要把一个节点当做根并往上加边。Prim算法跟Dijkstra算法神似，它也是每一步中都去扫描还被标记为未知的那些顶点，然后找出dist最低的边，它一定是属于最小生成树的边，所以把这个顶点再标记为已知，再去更新跟这个顶点相临近的那些顶点的dist值。在了解Prim算法之前，可以看看Dijkstra算法：
  
http://www.wyblog.cn/2016/12/09/%E5%B8%A6%E6%9D%83%E8%B7%AF%E5%BE%84%E6%9C%80%E7%9F%AD-dijkstra%E7%AE%97%E6%B3%95/
Prim算法的程序总体上跟Dijkstra算法是一样的，有少许区别。
最小生成树一般是对应的无向图，所以在构造图的时候，会把每条边认为是双向的，所以每条边要在图的邻接链表里添加两次。见代码里的CreateDAG函数。
顶点结构体里的dist所存的内容不同，在Dijkstra算法里，存的是最小路径之和，而在Prim算法里，存的是最小的权值。所以，在更新dist的代码差生了变化，变为了 $latex d_{\omega} = min ( d_{\omega},c_{\omega,v}) $。
打印最小生成树时，直接遍历所有顶点，并打印出对应的path值就可以了。
代码如下：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<queue>#include<algorithm>using namespace std;#define MAX_VERTEX_NUM 100#define Vertextype int#define Infinity 0xffff#define NotAVertex -1typedef struct EdgeNode{    int adjVertex;    int weight; //邻接权重     EdgeNode *nextEdgeNode;}EdgeNode;typedef struct VerNode{    int Known;    Vertextype data;    int dist;    int path;    EdgeNode *firstedge;}VerNode;typedef struct Graph{    VerNode verNode[MAX_VERTEX_NUM];    int vertex_num,edge_num;}Graph;void CreateDAG(Graph &G,int n,int e){    int i,j,w,k;    G.vertex_num=n;    G.edge_num=e;    for(i=1;i<=n;i++)    {        cin>>G.verNode[i].data;        G.verNode[i].Known=0;        G.verNode[i].dist=Infinity;        G.verNode[i].path=-1;        G.verNode[i].firstedge=NULL;    }    for(k=1;k<=e;k++)  //无向图，所以邻接表要生成两份     {        EdgeNode *p;        cin>>i>>j>>w;        p=new EdgeNode;        p->adjVertex=j;        p->weight=w;        p->nextEdgeNode=G.verNode[i].firstedge;        G.verNode[i].firstedge=p;        p=new EdgeNode;        p->adjVertex=i;        p->weight=w;        p->nextEdgeNode=G.verNode[j].firstedge;        G.verNode[j].firstedge=p;    }}void Prim(Graph &G,int n,int start) //求最小生成树Prim算法 {    VerNode V;    EdgeNode *w;    int i,j,temp_num,temp_dist;    G.verNode[start].dist=0;    G.verNode[start].path=0;    for(i=1;i<=n;++i) //n个点待查找     {        temp_dist=Infinity;        temp_num=0;        for(j=1;j<=n;++j) //先寻找未知的最短顶点        {            if(G.verNode[j].Known==0 && G.verNode[j].dist<temp_dist)            {                temp_dist=G.verNode[j].dist;                temp_num=j;            }        }        G.verNode[temp_num].Known=1;        w=G.verNode[temp_num].firstedge;        while(w)        {            if(G.verNode[w->adjVertex].Known==0)            {                G.verNode[w->adjVertex].dist = min(G.verNode[w->adjVertex].dist,w->weight);                if(G.verNode[w->adjVertex].dist == w->weight) //说明权值被更新，那么就要更新路径标记                     G.verNode[w->adjVertex].path=G.verNode[temp_num].data;                              }            w=w->nextEdgeNode;        }    }}int PrintMST(Graph &G,int n) //打印最小生成树 {    for(int i=1;i<=n;i++)        printf("%d <=> %d\n",i,G.verNode[i].path);}int main(){    Graph G;    CreateDAG(G,7,12); //给出图的顶点数及边数量    Prim(G,7,1); //给出顶点数以及起点编号    PrintMST(G,7); //给出顶点数，打印最小生成树 }/********************1 2 3 4 5 6 71 2 21 4 12 4 32 5 103 1 43 6 54 3 24 5 74 6 84 7 45 7 67 6 1输出：1 <=> 02 <=> 13 <=> 44 <=> 15 <=> 76 <=> 77 <=> 4 *********************/ 


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