[日常训练] 最小生成树

【问题描述】

话说正在jmy愁苦如何筹钱给大家买汽水的时候，他遇上了一位魔法师。魔法师希望jmy能帮他破解魔法书的咒语。如果jmy做到了，就帮他付所有买汽水的钱。
魔法书上画了一个完全图（每两个点之间有且只有一条边），每个点都有一个独一无二的[1,n]内的编号，jmy的任务是要找到最小生成树，以此作为魔法树，从而破解咒语。
对于完全图的边(i,j)(i≠j)的边权恰好就等于i,j 两个数字的最大公约数。
特别地，要作为魔法树，必须满足树指定某个点为根后，所有除根以外的节点的父亲的标号必须小于自身标号。
jmy一眼就看出了最小生成树的边权和。然而咒语却是最小生成树的个数。
为了保证大家都有汽水喝，你能帮帮jmy吗？

【输入格式】

一行仅一个数N表示完全图的大小。

【输出格式】

一行一个整数表示答案对100,000,007取mod的结果。

【输入输出样例】

mst.in
3

mst.out
2

【数据规模】

对于10%的数据N≤5
对于30%的数据N≤8
对于40%的数据N≤10
对于70%的数据N≤5,000
对于100%的数据N≤20,000

【分析】

首先肯定存在一种最小生成树方案：令点1为根，向其余每个点连边。也就是说，所有的最小生成树方案都满足所有的边权为1。又因为“所有除根以外的节点的父亲的标号必须小于自身标号”，所以我们考虑按照编号顺序构造最小生成树。那么如果当前的生成树中已经包含点1~i−1，则点i可选择向任意一个与i互质的点连边。
我们记f[i]表示已经最小生成树包含点i的方案个数，则转移为
f[i]=f[i−1]×（点1~i−1中与点i互质的点的个数）
我们记cnt[i]表示互质点的个数，问题的关键在于如何求出cnt[i]。
一开始先假设cnt[i]=i−1，即前面的所有数都与它互质，然后扣除掉那些不合法的方案。记i的倍数k=i×j(j≥2)，则cnt[k]−=cnt[i]，表示所有与i互质的数乘以j后必然与i×j不互质，所以要扣除。因为这样是从互质的个数来转移，j为i×j和与i互质的数乘以j后的最大公约数，所以不会算重。

【代码】

#include <iostream>#include <cstdio> using namespace std;typedef long long ll;const ll Mod = 1e8 + 7;const int N = 2e4 + 5;ll f[N], cnt[N]; bool vis[N];int n, m, a[N];int main(){    freopen("mst.in", "r", stdin);    freopen("mst.out", "w", stdout);    scanf("%d", &n);    for (int i = 1; i <= n; ++i) cnt[i] = i - 1;    for (int i = 2; i <= n; ++i)     for (int j = 2; j <= n / i; ++j)      cnt[i * j] -= cnt[i];    f[1] = 1;       for (int i = 2; i <= n; ++i)     (f[i] = f[i - 1] * cnt[i]) %= Mod;    cout << f[n] << endl;}