数理逻辑1 -- 命题演算4

上一节给出了系统L的定义，接下来我们看看这个系统L有哪些定理，又有哪些有趣的假设结果。

为了方便，如果B是一个定理，则记作⊢LB，表示不需要任何假设Γ即可推导得出。在讲述系统L的时候可省略下标，简记为⊢B。

定理1.7: ⊢B⇒B
证明:
(1) B⇒((D⇒B)⇒B), 由A1
(2) (B⇒(D⇒B))⇒(B⇒B)， 由(1)、A2和MP
(3) B⇒(D⇒B)， 由A1
(4) B⇒B，由(2),(3)和MP
证毕

谨记，一个证明即是一个wf序列，序列的最后就是要证明的wf，中间的每一个wf要么是公理，要么由前面的wf推导得出。上述证明就是4个wf组成的序列。

一开始的定理都很简单，接着玩。

定理1.8: ⊢(¬B⇒B)⇒B
证明：
(1) (¬B⇒¬B)⇒((¬B⇒B)⇒B), 由A3
(2) ¬B⇒¬B，由定理1.7
(3) (¬B⇒B)⇒B，由(1),(2),MP
证毕

严格来说，定理1.8的证明并不是一个完整的序列，因为其中（2）用了定理1.7。实际上，我们可以想想（2）是一个缩写，即把定理1.7的证明中的4个wf仅用一个wf来代替。我们再次看出，所谓的证明，就是在”搭积木“。

命题1.9： B⇒C，C⇒D⊢B⇒D
注：这里的命题只是个叫法，因为它加了假设，所以就不是定理。
证明：
(1) (C⇒D)⇒(B⇒(C⇒D))， A1
(2) C⇒D，假设
(3) B⇒(C⇒D), (1)(2)和MP
(4) (B⇒C)⇒(B⇒D), 由(3), A2和MP
(5) B⇒C，假设
(6) B⇒D，(4)(5)和MP
证毕

有时候证明会简略，即某些公理，定理没有出现在wf序列中，而是直接写在某个wf后面，作为“推导依据”。

命题1.10： B⇒(C⇒D)⊢C⇒(B⇒D)
注：B和C换了个位置，要动点脑筋了。
证明
(1) (B⇒C)⇒(B⇒D), 由A2、假设和MP
(2) C⇒((B⇒C)⇒(B⇒D))，由A1,(2)和MP
(3) (C⇒(B⇒C))⇒(C⇒(B⇒D))，由A2, (2)和MP
(4) C⇒(B⇒C)， A1
(5) C⇒(B⇒D)，由(3)(4)和MP
证毕

命题1.11： B, ¬B⊢D
注：这个命题的意思是如果B和¬B都存在，那么任何wf都能被证明。也就是说，如果一个系统中某个好式子B和它的¬B都是定理，那么这个系统就是“不一致的”(inconsistent)，因为此时任何wf都是定理。
证明：
(1) (¬D⇒¬B)⇒((¬D⇒B)⇒D), A3
(2) ¬B⇒(¬D⇒¬B), A1
(3) ¬B, 假设
(4) ¬D⇒¬B, 由(2)(3)和MP
(5) (¬D⇒B)⇒D, 由(1)(4)和MP
(6) B⇒(¬D⇒B), A1
(7) B, 假设
(8) ¬D⇒B, 由(6)(7)和MP
(9) D, 由(5)(8)和MP
证毕

定理1.12: ⊢(¬D⇒¬B)⇒(B⇒D)
注：虽然一切皆是符号，但这里硬要代入理性常识的话，就有点“逆否”命题相互等价的意思了。
证明：（我水平不够，没能一步证出来，先证明个引理）
引理1.13：⊢((D⇒B)⇒C)⇒(B⇒C)
引理1.13的证明:
(1) ((D⇒B)⇒C)⇒(B⇒((D⇒B)⇒C)), A1
(2) B⇒((D⇒B)⇒C)⇒((B⇒(D⇒B)⇒(B⇒C))), A2
(3) ((D⇒B)⇒C)⇒((B⇒(D⇒B))⇒(B⇒C)), 由(1)(2)和命题1.9
(4) (B⇒(D⇒B))⇒(((D⇒B)⇒C)⇒(B⇒C)), 由命题1.10，”换个位置”
(5) ((D⇒B)⇒C)⇒(B⇒C), 由(4), A1和MP
引理1.13证毕

定理1.12的证明：
(1) (¬D⇒¬B)⇒((¬D⇒B)⇒D), A3
(2) ((¬D⇒B)⇒D)⇒(B⇒D), 由引理1.13
(3) (¬D⇒¬B)⇒(B⇒D)，由(1)(2)和命题1.9
证毕

在证明练习的过程中，诸如B⇒D的形式，似乎是在说“如果B成立，那么D也成立”，所以很自然地就会想如果 B⊢D, 那么是否有⊢B⇒D?。如果这种东西存在的话，就不用费劲硬要“搭积木”似的非要想出B⇒D形式了。很幸运，这样的东东的确存在，就是以下的“演绎定理”。

命题1.14 （演绎定理, Deduction Theorem）: 如果Γ是一个wf的集合，B、D都是wf，并且Γ,B⊢D, 那么 Γ⊢B⇒D。特别的，如果B⊢D，那么⊢B⇒D。
注：命题1.14虽然叫作“演绎定理”，但这里的定理不是系统L的“定理”，只是一个叫法。演绎定理提供了一个证明上的方便，当证明B⇒D时，不用非得拼出这个形式，而是证明“D由B推导得出”即可。
证明：因为Γ,B⊢D，所以存在一个证明（wf序列）D1,D2,...,Dn，使得Dn就是D。接下来，我们用归纳法来证明Γ⊢B⇒Di,i=1,2,...,n，简写成证明B⇒Di。
(1) i=1时，即要证明B⇒Di。D1只有三种情况：
1.a D1是公理。那么，D1⇒(B⇒D1)存在（由A1），因此B⇒D1（由MP和D1是公理）。
1.b D1就是B。那么，由定理1.7可得B⇒B。
1.c D1是Γ中的某个wf。那么，同1.a证明一样，可得B⇒D1。
(2) i>1时，Di有四种情况，前三种和1.a, 1.b, 1.c证明一样，第四种如下:
2.d Di既不是公理，也不是B，也不属于Γ，那么Di一定由某两个Dj和Dm加上MP规则推导得出，其中m,j<i，并且（不失一般性）Dm一定是Dj⇒Di的形式。
2.d1 B⇒(Dj⇒Di)， 归纳法假设，B⇒Dm, 当m<i时
2.d2 (B⇒Dj)⇒(B⇒Di), 由2.d1、A2和MP
2.d3 B⇒Dj，归纳法假设, 因为j<i
2.d4 B⇒Di，由2.d3和MP
证毕

有了演绎定理，能玩的花样就更多了，下一节继续玩，巩固一下系统L的公理特性。