数理逻辑1 -- 命题演算5

上一节介绍了演绎定理，接下来看看用它能玩出什么新花样。

定理1.15： ⊢¬¬B⇒B
注：有点双重否定即肯定的意思。
证明：利用演绎定理，证明¬¬B⊢B即可。
(1) ¬¬B，假设
(2) ¬¬B⇒(¬B⇒¬¬B), A1
(3) ¬B⇒¬¬B, (1)(2)和MP
(4) (¬B⇒¬¬B)⇒((¬B⇒¬B)⇒B)，A3
(5) (¬B⇒¬B)⇒B, (3)(4)和MP
(6) ¬B⇒¬B, 定理1.7
(7) B， 由(5)(6)和MP
证毕

定理1.15反过来也是可以的，如下：
定理1.16： ⊢B⇒¬¬B
证明：这次直接来，不需要演绎定理。
(1) ¬¬¬B⇒¬B, 定理1.15
(2) (¬¬¬B⇒B)⇒¬¬B，由(1),A3和MP
(3) B⇒(¬¬¬B⇒B)，A1
(4) B⇒¬¬B，由(3)(2)和命题1.9（A⇒B,B⇒C⊢A⇒C)
证毕

接着证明两个“常识”。
定理1.17：⊢(¬D⇒¬B)⇒(B⇒D)
注：和定理1.12一样，用演绎定理再证一次。
证明：只需证明(¬D⇒¬B),B⊢D，然后运用两次演绎定理，即(¬D⇒¬B)⊢(B⇒D)， 和⊢(¬D⇒¬B)⇒(B⇒D)。
证明开始：
(1) ¬D⇒¬B，假设
(2) ¬B⇒¬¬¬B，定理1.16
(3) ¬D⇒¬¬¬B，(1)(2)和命题1.9
(4) (¬D⇒¬¬B)⇒D，(3)、A3和MP
(5) B，假设
(6) ¬D⇒B，(5)、A1和MP
(7) B⇒¬¬B, 定理1.16
(8) ¬D⇒¬¬B，(6)(7)和命题1.9
(9) D，(8)、(4)和MP
证毕

定理1.17“反过来”也一样
定理1.18：⊢(B⇒D)⇒(¬D⇒¬B)
证明：只需证B⇒D⊢¬D⇒¬B，然后运用演绎定理。
(1) B⇒D，假设
(2) ¬¬B⇒B, D⇒¬¬D，定理1.15和定理1.16
(3) ¬¬B⇒¬¬D，(1)(2)和MP
(4) ¬D⇒¬B, （3）和定理1.18
证毕

定理1.19: B,D⊢B∧D， 即B,D⊢¬(B⇒¬D)。
证明：
(1) (B⇒¬D)⇒(D⇒¬B)， 由定理1.12，定理1.15， 定理1.16，定理1.17，定理1.18
(2) ((B⇒¬D)⇒D)⇒(B⇒¬D)⇒¬B)，由（1）、A2和MP
(3) D，假设
(4) (B⇒¬D)⇒D，由（3）、A1和MP
(5) (B⇒¬D)⇒¬B，由（2）（4）和MP
(6) ¬¬(B⇒¬D)⇒¬B，由(5)、定理1.15和命题1.9
(7) (¬¬(B⇒¬D)⇒B)⇒¬(B⇒¬D)，由(6)、A3和MP
(8) B，假设
(9) ¬¬(B⇒¬D)⇒B，由(8)、A1和MP
(10) ¬(B⇒¬D)，由(7)、(9)和MP。
证毕

定理1.20： ⊢B⇒(¬D⇒¬(B⇒D))
证明：
(1) B,B⇒D⊢D，显然
(2) B⇒((B⇒D)⇒D)，对(1)运用两次演绎定理
(3) ((B⇒D)⇒D)⇒(¬D⇒¬(B⇒D))，由定理1.17
(4) B⇒(¬D⇒¬(B⇒D))，由(2)(3)和命题1.9
证毕

玩了这么多，对这个系统L有了很多的了解，下节再玩几下就可以了。