数理逻辑1 -- 命题演算3

形式理论（Formal Theory）
上一节给出了一套命题演算系统的语言，接下来我们就基于这套语言，定义一个“公理化的命题演算系统”,即“形式理论”。

我们感兴趣的是假定一些wf已存在（公理），和一套推导规则，我们能推导出何种wf，或者说判定某些wf能否被证明。形式理论的目的就在于研究在不同公理和不同推导规则下，命题演算系统的性质究竟如何，比如是不是任意一个wf都能被证明？是否P和¬P能同时被证明？这里“证明”的定义将在后面给出。

定义1.2（形式理论）：一个形式理论包含以下要素

1. 一个命题演算系统的语言，即命题符号、括号符号、连接符号。
2. 基于命题演算系统的好式子Well Formed Formula，即wfs
3. 公理（Axiom），即指定的一系列wfs，可有无穷多个
4. 推导规则（Rule of Inference），即一堆关系Relation，(借用集合论的语言，注意，此时先不要纠结是否有“循环定义”之嫌，因为集合论的语言依赖于命题演算系统与形式逻辑）。具体来说，推导规则是指一个序列R1,R2,...,Rm，其中每个Ri都是一个推导规则，即一个relation: (B1,B2,...,Bn)，以表示如果B1,B2,...,Bn−1存在，那么Pn也存在。

集合论中的一个关系Relation即一个集合，因此定义1.2中4的含义是B1,B2,...,Bn是否在“集合”Ri中，如果存在，我们就说Bn由B1,B2,...,Bn−1和推导规则Ri“推导得出”。

定义1.2表明了逻辑系统的“存在性”，即给定一些wf和推导规则，要“证明”一个wf是否存在，简单来说就是看wf能否存在与某个推导规则Ri中。下面给出“证明”的定义。

定义1.3 （证明）：一个证明(Proof)是指一个wf的序列 B1,B2,...,Bn)， 其中每个Bi要么是公理，要么由B1,B2,...,Bi−1和某个推导规则推导得出。

所以一个证明就是一个wf的序列，仅此而已。有了证明，自然就有了“定理”。

定义1.4 （定理）： 一个定理（Theorem）是指某个证明中的最后一个wf。

我们会经常见到“可判定性（不可判定性）”这个术语，它没有明确的定义，但粗略来说，在一个形式理论中，如果存在一个“有效”的过程，可以证明每个wf是否为定理，那就是“可判定”的，因为它可以用机器实现自动定理证明。如果不存在，那就需要靠人类的天才来证明某些定理了。

由定义1.3和1.4可知，所谓定理，即是由公理和推导规则，经过一个证明，得出的一个wf。要是用“积木游戏”的语言来描述的话，公理就是游戏开始时给定的积木，推导规则就是建筑规则，定理就是在此之下搭出来“新积木”。这些新积木又可以继续作为原材料，无穷无尽地搭下去。

如果一个形式理论仅靠定义1.3和1.4来玩，还是不够好玩，因为公理的“范畴”有限，那么搭出来的新积木在形式上也必定有限，就好像如果只给你“三角形积木”，推导规则是“三角形的边互相重叠”，你是怎么也搭不出圆形来的。

所以，一个自然的问题就是问，如果我们额外引进一些积木，又能搭出怎样的新积木呢？这些额外引进的积木就叫做“假设（Hypothesis）”，它可以看作临时加入的wf，只是为了某一次游戏而引进，由公理、假设、推导退则搭出来的新wf，就叫作“假设而推导得出的结果”（Consequence of Hypothesis），我把它简称为“假设结果”。

定义1.5 （假设结果）：给定一个wf的集合Γ（同样的，不要纠结集合的正式定义，采用朴素的集合定义即可）作为假设，如果某个好式子B是某个序列B1,B2,...,Bk中的Bk，其中每个Bi要么是公理，要么属于Γ，要么由B1,B2,...,Bi−1推导得出，那么B就称为Γ的假设结果，记为Γ⊢B。

有了定义1.5之后，我们就可以愉快地玩耍了。下面给出一个形式理论，书中称为”System L”，即系统L，其实它就是“希尔伯特演绎系统”。

定义1.6： 系统L包含以下要素

1. 符号
2. 好式子
3. 三套 公理，即A1. B⇒(D⇒B)； A2. (B⇒(C⇒D))⇒((B⇒C)⇒(B⇒D)); A3. (¬C⇒¬B)⇒((¬C⇒B)⇒C)
4. 推导规则Modus Ponendo，简称MP，即关系R为(B,B⇒D,D)的形式。换句话说，由B、B⇒D和MP，可以推导出D。

此时千万要先忘记定义1.6中3，4点的现实意义，它们就是一堆符号，仅此而已。不过这堆符号恰好又能从我们现实的语言中找到一个对应，赋予其意义，又刚好符合我们的理性常识。但此时此刻，它们就是符号，仅此而已。

系统L的公理之所以称为“一套公理”，是指符合A1, A2, A3形式的都是公理，即游戏开始时就已存在的积木。它们有无穷多个，所以才称为“一套公理”，英文叫作”Axiom Scheme”。

对于系统L，它的连接符号其实只有两个，即¬和⇒。为了方便起见，也为了符合我们的理性常识，增加三个可选连接符号，即∧、∨、⇔，它们是代用品，其中∧、∨的缩写规则前面笔记已给出，⇔的缩写规则是B⇔D是(B⇒D)∧(D⇒B)的缩写。

下一节我们看看系统L能玩出什么花样。