机器学习：如何理解机器学习中的逻辑回归

逻辑回归也可以说是一个分类器。在二分类器中，输出要么是0，要么是1。所以对于一组输入来说，我们要做的就是通过这个输入的数据，经过假设函数的处理之后，输出结果是1的概率。也就是说，输出是一个概率值。所以现在要转成逻辑函数：

hθ(x)=11+e−θTx

如何理解这个逻辑函数呢？
这个函数就是为了评估输入为x时，输出的结果刚好是y=1的概率。所以如果我们有一组数据(x(i),y(i)=1)那么

hθ(x(i))=11+e−θTx(i)

的结果应该尽可能使得hθ(x(i))的结果接近于1（通过调整θ）。

那么，当我们有m组数据时，哪一组θ是拟合得最好（效果最好）的呢？拟合得最好的那组θ就是我们想要的。所以我们可以定义代价函数为：

Cost(hθ(x),y)={−log(hθ(x))if  y=1−log(1−hθ(x))if  y=0

为什么这么定义呢？
我们可以画出−log(hθ(x))的图形：

从图中我们可以看到，当hθ(x)趋向于1的时候，说明有更高的概率y=1，而这个函数也是当y=1的时候的函数形式。y=1时，hθ(x)趋向于1，−log(hθ(x))的值越小，也就是代价越小。同理，当y=0时，−log(1−hθ(x))也是这种趋势。

因为y要么是1，要么是0，所以代价函数可以写为：

Cost(hθ(x),y)=−y log(hθ(x))−(1−y)log(1−hθ(x))

所以：

J(θ)=1m∑i=1mCost(hθ(x(i)),y(i))=−1m[∑i=1my(i)log(hθ(x))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]

我们的目标就是获得J(θ)最小值时的那组θ值。

事实上，我们也可以使用平方差来作为代价函数：

Cost(hθ(x),y)=(hθ(x(i))−y(i))2

虽然它们在形式上不一样，但是它们的意义是一样。都是刻画了每一组输入x与对应的y之间的差距。我们的目标都是为了找到一组θ来最小化这个差距。写成这种形式之后，又可以使用梯度下降算法来拟合参数了。关于梯度下降算法可以参考我的上一篇博文。