【JZOJ2702】探险

图转侵删

题解的构造我暂时没去理解，一眼没看懂就不理了
赛后自己先想了想，然后和hsz，ymw大爷讨论一番我的想法，没发现什么错
先感谢大爷们对我的帮助_ (:з)∠)_

由于题目要求的是最短路径，我们不妨考虑图的最短路DAG和答案路径Pans，找找关系
又因为要回到原点，我们应当考虑两个最短路图：从原点出发的，记为G1，从各个点到原点的，记为G2
然后自然得到一个猜想，Pans能拆成P1+P2,P1∈G1,P2∈G2
因为看起来很对，我们考虑证明它。要证明这个猜想我们先证明一个很像的结论：
在Pans上任选一点，被分成的两条路径1必有一条在G1或G2上
在选的点不为Pans中原点的前驱或后继的情况下2，只要取出前驱后继进行讨论即可证明2.5
有了这个结论，在一般情况下3,猜想是显然正确的
故根据猜想，我们只需要枚举连接P1,P2的边，在G1,G2上讨论4，贡献答案即可
至此问题解决（了吧？大概= =）

看懂了就不必看注释了。。
(1) 两条路径指：原点到选定点，选定点到原点 这两条
(2) 不在这种情况下我没有讨论，不知道结论是否仍然正确
(3) 特殊情况为：1.Pans的长度小于4。2.Pans只由一条最短路和一个点组成
这些情况不知道是否还能通过枚举边来贡献到答案，但显然可以打几个针对的算法解决
(4) 若在最短路DAG上到达某点的第一条边唯一，则此边为该点的支配边
若枚举的边的两点的支配边不同（或者其中一点没有支配边）则可以贡献答案，否则为非法，不贡献
(2.5)如图

说明:P1∉G1,P2∉G2,P′1∈G1,P′2∈G2,ABCD为各路径上最靠近原点的点
考虑反证
当A≠C或B≠D时，P1+P′2或P′1+P2将构成合法且更优的答案5
当A=C且B=D时，由答案路径定义，A≠D，故B≠C，P′1+P′2将构成合法且更优的答案5
得证
(5)事实上，答案可能不合法，两路径会在中途经过重边，但若只保留从原点到第一次重边的位置，答案将合法且更优。
更优显然，合法是因为保证了原点的前驱后继不同，就保证了保留下来的路径不会只剩下一个原点

如果有什么定义上的问题可以评论♪(^∇^*)