数论，非代码，数学问题

NUMBER THEORY

下面这些都是一些数论最最基础的概念知识，如果有一定基础，就不要看了，怕会玷污了贵眼。

我马上开始要学离散数学了，而整数又是离散数学的中心议题，数论又是讨论整数性质的重要数学分支，并且数论会在竞赛题中经常出现，伴随一些神奇的问题，我需要认真的探讨一下数论。

1、整除性：如果m>0且比值n/m是一个整数，我们说m整除n（或者n被m整除）.赋予它一个特殊的记号会更方便，记为：m\n <=> m > 0 且对某个整数k有n = m*k（不过实际上，“m|n” 远比 “m\n” 通用，不过竖线使用太多容易被看成是绝对值，并且也会容易看成为比值的意思）

▲两个整数m和n的最大因子数（最大公约数）（greatest common divisor）是能整除它们两者的最大整数：

                                   gcd(m , n)    =    max{ k   |    k\m    且     k\n}   (m,n整除k）；

例如，gcd（12,18）= max{k | k\12 且 k\18  }，k最大只能为6;. 

▲最小公倍数：lcm(m , n)    =    min{ k   |    m/k    且     n/k}       (和最大公约数一样的，k整除m和n）；

这里我们讨论gcd不较多，因为lcm可以由gcd计算出来，对给定的值：0<=m<n,计算gcd(m , n)：

               gcd( 0 , n) = n;   gcd( m , n） = gcd( n mod m , m) , m>0.

      例如这样就有gcd(12,18) = gcd(6,12)  = gce(0 , 6),这就是欧几里得算法。

2、素数 PRIMES 

▲如果一个正整数p恰好只有两个因子，即1和p，那么这个数就称为素数（prime) 。1不是素数。像下面这样：

                                    2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41，...。

          有些数看起来是素数如：91（=7 x 13) 以及 161 （=7x23），但实际上不是，我们称有非平凡因子的数都称为合数。所以每一个大于一的整数，要么是合数，要么是素数。

         素数之所以那么重要，因为它们是所有正整数的基本构造元素。任何正整数n都可以表示成素数的乘积。例如：

12  =  2x2x3     ,    11011  =  7x11x11x13     ,    11111  =  41x271  ;

3、阶乘的因子 （FACTORIAL  FACTORS）

          n！=1x2x3x4x...xn,（n>=0）

          当n>=25时，n！中的数字个数超过n。并且：n^n/2  <=  n!  <=(n+1)^n / 2^n，所以阶乘函数以指数形式增长。

对于更加精确的近似n!，我们可以利用斯特林公式：n!~sqrt(2*PI*n)*(n / e)^n，斯特林公式与n!的相对误差大概是1/(12*n).

4、互素 ：当gcd（m，n）= 1 时，整数m和n没有公共的素因子，我们称它们是互素的。

5、mod : 同余关系 

          a≡b (mod m)   <=> a mod m = b mod m.

例如，9≡-16（mod5），因为9 mod 5=4=（-16）mod 5。公式a≡b (mod m)可以读成“a关于模m与b同余”。这个公式对于任意实数都有意义，不过我们只对整数用此定义。

如果a≡b (mod m) 且 c≡d (mod m)   =>   a+c≡b+d（mod m)  ;

       a≡b (mod m) 且 c≡d (mod m)   =>   a-c≡b-d （mod m）；

       a≡b (mod m) 且 c≡d (mod m)   =>   a*c≡b*d （mod m）；（b，c都是整数）

       ad≡bd (mod md)  <=>  a≡b (mod m),d!=0.

       ad≡bd (mod m)  <=> b(mod(m/gcd(d,m))),(a,b,d,m都是整数)。