【每日算法】堆排序

1、堆：堆数据结构是一种数组对象。

对于表示堆的数组arr[0…n-1]，我们以arr[0]为根，给定某个节点下标i，令其父节点和左右后代节点的下标为：

parent(i) = (i-1)/2;

left(i) = 2*i+1;

right(i) = 2*i+2;

堆分为最大堆和最小堆，上面就是最大堆，特点就是：除根节点以外的每个节点i，都有arr[ parent(i) ] >= arr[i]。最小堆的特点则是：除根节点以外的每个节点i，都有arr[ parent(i) ] <= arr[i]。

堆排序一般使用最大堆，最大堆中的最大元素位于根节点。

因为具有n个元素的堆是基于一颗完全二叉树的，所以其高度为O(log n)。

2、如何保持堆中的性质：

首先，我们假定以节点i的左右儿子为根的两棵二叉树都是最大堆，而以节点i为根的二叉树可能不是最大堆，则调整的过程如下：

1. 从元素arr[i], arr[left(i)], arr[right(i)]中找出最大的元素，将下标存在largest中；
2. 如果arr[i]是最大的，说明以节点i为根的二叉树是最大堆，无须调整，程序结束；否则，交换arr[i]和arr[largest]，于是arr[i], arr[left(i)], arr[right(i)]三者满足了最大堆的性质，但是交换后，下标为largest的节点存放arr[i]的值，以该节点为根的子树又可能违反最大堆的性质，因此需要对该子树递归调用本调整过程

代码：

//arr[0...size-1]void maxHeapify(int arr[], int i, int size){    int l = left(i);    int r = right(i);    int largest = i;    if (l < size && arr[l] > arr[largest])        largest = l;    if (r < size && arr[r] > arr[largest])        largest = r;    if (largest != i)    {        exchange(arr[i], arr[largest]);        maxHeapify(arr, largest, size);    }}

3、建堆：

上面保持堆的性质是一个铺垫，它也是堆算法中的核心部分，后面我们将利用它完成建堆和堆排序。

我们先看看如何使用maxHeapify()来将一个数组arr[0…size-1]变成一个最大堆。

对于每一片树叶，我们都可以看作是一个只含一个元素的堆。于是对于叶子节点的父亲节点（左右子树都是最大堆），我们可以调用maxHeapify()来进行调整。调整之后，我们得到更大的堆，对于这些堆的父节点，我们又可以调用maxHeapify()来进行调整。

为保证maxHeapify()的调用前提，我们只需从最下面的非叶子节点开始调整，一直到根节点，整个堆建立完毕。

那么，最下面的非叶子节点的下标是多少？

在这里我只给出结论，有兴趣的读者可以尝试证明一下：

当用数组表示存储了n个元素的堆时，叶子节点的下标为：n/2， n/2+1, … , n-1。 （n/2表示向下取整）

于是我们的调整顺序为n/2-1, … , 0：

代码：

buildMaxHeap(int arr[], int size){    for (int i = size/2-1; i >= 0; --i)        maxHeapify(arr, i, size);}

4、堆排序：

为进行原地排序，我们引入另一个变量：heap_size，它用来表示堆的大小，而用size来表示数组的大小。

于是数组arr[0…size-1]中，arr[0…heap_size-1]为堆，arr[heap_size, size-1]为排好序的元素。

由最大堆的性质可知道，arr[0]存放着堆中最大的元素，于是可以利用该性质如下排序：

1. 初始heap_size = size，调用buildMaxHeap(arr, heap_size)建立最大堆；
2. 令i = size-1，交换arr[0]和arr[i]，heap_size–，i–；
3. 交换后，原来根的子女仍是最大堆，而根元素则可能违背了最大堆的性质，所以调用maxHeapify(arr, 0, heap_size)进行调整；
4. 重复以上过程，直到堆的大小变为2，此时再重复一次以上过程，整个数组便从小到大排好序了。

代码：

void heapSort(int arr[], int size){    if (NULL == arr || size <= 0)        return ;    int heap_size = size;    buildMaxHeap(arr, heap_size);    for (int i = size-1; i >= 1; --i)    {        exchange(arr[0], arr[i]);        --heap_size;        maxHeapify(arr, 0, heap_size);    }}

堆排序（heapsort）的时间复杂度为O(n logn)，不稳定。