图的关键路径

关键路径的算法是建立在拓扑排序的基础之上的，这个算法中用到了拓扑排序，所以在这里先以拓扑排序开篇。

1． 什么是拓扑排序？
举个例子先：一个软件专业的学生学习一系列的课程，其中一些课程必须再学完它的基础的先修课程才能开始。如：在《程序设计基础》和《离散数学》学完之前就不能开始学习《数据结构》。这些先决条件定义了课程之间的领先(优先)关系。这个关系可以用有向图更清楚地表示。图中顶点表示课程，有向边表示先决条件。若课程i是课程j的先决条件，则图中有弧(i,j)。若要对这个图中的顶点所表示的课程进行拓扑排序的话，那么排序后得到的序列，必须是按照先后关系进行排序，具有领先关系的课程必然排在以它为基础的课程之前，若上例中的《程序设计基础》和《离散数学》必须排在《数据结构》之前。进行了拓扑排序之后的序列，称之为拓扑序列。
2． 如何实现拓扑排序？
很简单，两个步骤：
1． 在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出。
2． 从图中删除该顶点和以它为尾的弧。
重复上述两步，直至全部顶点均已输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况则说明有向图中存在环。
3． 什么是关键路径？
在学习关键路径前，先了解一个AOV网和AOE网的概念：

用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的有向图：
称为顶点表示活动的网（Activity On Vertex Network），简称为AOV网。
与AOV网对应的是AOE（Activity On Edge）网即边表示活动的网。
AOE网是一个带权的有向无环图。
网中只有一个入度为零的点（称为源点）和一个出度为零的点（称为汇点）。
其中，顶点表示事件（Event），弧表示活动，权表示活动持续的时间。
通常，AOE网可用来估算工程的完成时间。
假如汽车生产工厂要制造一辆汽车，制造过程的大概事件和活动时间如上图AOE网：
我们把路径上各个活动所持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点具有最大长度的路径叫关键路径，在关键路径上的活动叫关键活动。
那么，显然对上图AOE网而言,所谓关键路径：
开始–>发动机完成–>部件集中到位–>组装完成。路径长度为5.5。
如果我们试图缩短整个工期，去改进轮子的生产效率，哪怕改动0.1也是无益的。
只有缩短关键路径上的关键活动时间才可以减少整个工期的长度。
例如如果制造发动机缩短为2.5天，整车组装缩短为1.5天，那么关键路径为4.5。
工期也就整整缩短了一天时间。
好吧！ 那么研究这个关键路径意义何在？
假定上图AOE网中弧的权值单位为小时，而且我们已经知道黑深色的那一条为关键路径。
假定现在上午一点，对于外壳完成事件而言，为了不影响工期：
外壳完成活动最早也就是一点开始动工，最晚在两点必须要开始动工。
最大权值3表示所有活动必须在三小时之后完成，而外壳完成只需要2个小时。
所以，这个中间的空闲时间有一个小时，为了不影响整个工期，它必须最迟两点动工。
那么才可以保证3点时与发动机完成活动同时竣工，为后续的活动做好准备。
对AOE网有待研究的问题是：
（1）完成整个工程至少需要多少时间？
（2）那些活动是影响工程进度的关键？
今天研究是实例如下图所示：

假想是一个有11项活动的AOE网，其中有9个事件(V1,V2,V3…V9)。
每个事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。
如V1表示整个工程开始，V9表示整个共结束，V5表示a4和a5已经完成，a7和a8可以开始。
关键路径算法
为了更好的理解算法，我们先需要定义如下几个参数：
（1）事件的最早发生时间etv(earliest time of vertex): 即顶点Vk的最早发生时间。
（2）事件的最晚发生时间ltv(latest time of vertex): 即顶点Vk的最晚发生时间。也就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间，超出此时间将会延误整个工期。
（3）活动的最早开工时间ete(earliest time of edge): 即弧ak的最早发生时间。
（4）活动的最晚开工时间lte(latest time of edge): 即弧ak的最晚发生时间，也就是不推迟工期的最晚开工时间。
然后根据最早开工时间ete[k]和最晚开工时间lte[k]相等判断ak是否是关键路径。
将AOE网转化为邻接表结构如下图所示：

求事件 的最早发生时间etv的过程，就是我们从头至尾找拓扑序列的过程，因此，在求关键路径之前，需要先调用一次拓扑序列算法来计算etv和拓扑序列列表。为此我们首先在程序开始处声明几个全局变量。

int  *etv,*ltv;//事件最早发生时间和最迟发生时间数组int  *stack2;//用于存储拓扑序列的栈int   top2; //用于stack2的指针//下面是改进过的求拓扑序列算法status  TopologicalSort(GraphAdjList   GL){      EdgeNode   *e;      int   i,k,gettop;      int   top=0;    //用于栈指针下标      int    count=0;   //用于统计输出顶点的个数      int     *stack;  //创栈将入度为0的顶点入栈     stack=(int  *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));     for(i=0;i<GL->numVertexes;i++)          if(0==GL->adjList[i].in) stack[++top]=i;      top2=0;     etv=(int  *)malloc(GL-numVertexes*sizeof(int)); //事件最早发生时间      for(i=0;i<GL->numVertexes;i++)        etv[i] = 0;     stack2=(int  *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));    while(top!=0)    {        gettop = stack[top--];       count++;       stack2[++top2] = gettop; //将弹出的顶点序号压入拓扑序列的栈        for(e=GL->adjList[gettop].firstedge;e;e=e->next)        {                k=e->adjvex;               if(!(--GL->adjList[k].in))                       stack[++top]=k;             if((etv[gettop]+e->weight)>etv[k])                        etv[k]=etv[gettop]+e->weight;         }    }        if(count<GL->numVertexes)            return ERROR;        else            return OK;}

第11~15行为初始化全局变量etv数组、top2和stack2的过程。第21行就是将本是要输出的拓扑序列压入全局栈stack2中。第27~28行很关键，它是求etv数组的每一个元素的值。比如说，假如我们已经求得顶点v0对应的etv[0]=0，顶点v1对应的etv[1]=3，顶点v2对应的etv[2]=4，现在我们需要求顶点v3对应的etv[3]，其实就是求etv[1]+len（v1,v3）与etv[2]+len（v2,v3）的较大值。显然3+5<4+8，得到etv[3]=12。如图所示，在代码中e->weight就是当前弧的长度。

下面我们来看一下求关键路径的算法代码
下面我们来看一下求关键路径的算法代码
void CriticalPath(GraphAdjList GL)

{        EdgeNode   *e;        int   i,gettop,k,j;        int ete,lte;       TopologicalSort(GL);   //求拓扑序列，计算数组etv和stack2的值       ltv=(int  *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));//事件最晚发生时间       for(i=0;i<GL->numVertexes;i++)                   ltv[i] =etv[GL->numVertexes-1];//初始化ltv       while(top2!=0)       {                 gettop = stack2[top2-1];                 for(e=GL->adjList[gettop].firstedge;e;e=e->next)                 {//求各顶点事件的最迟发生时间ltv值                       k=e->adjvex;                      if(ltv[k]-e->weight<ltv[gettop])//各点事件最晚发生时间                           ltv[gettop] =ltv[k]-e->weight;                 }                  for(j=0;j<GL->numVertexes;j++)                 {                         for(e=GL->adjList[j].firstedge;e;e=e->next)                         {                                k=e->adjvex;                                ete = etv[j];                                lte =ltv[k]-e->weight;                                if(ete==lte)                                   printf(“<v%d,v%d>length:%d,”,GL->adjList[j].data,GL->adjList[k].data,e->weight);                          }                  }        }}