图的关键路径

来源：互联网发布：软件随想录 txt 编辑：程序博客网时间：2024/05/17 07:37

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(一) AOE网

事件含义

v1 开工

v2 活动a1完成，活动a4可以开始

v3 活动a2完成，活动a5可以开始

v4 活动a3完成，活动a6可以开始

v5 活动a4与a5完成，活动a7和a8可开始,

v6 活动a6完成，活动a9可以开始

v7 活动a7完成，活动a10可以开始

v8 活动a8与a9完成，活动a11可以开始

v9 活动a10和a11完成，整个工程完成

边（弧）：代表活动（操作）；

边权：代表活动的持续时间。记边ak=<i, j>的权为len(ak)或len(i,j)；

结点：代表事件（状态）。它表示它的各入边代表的活动均已完成，而它的出边代表的活动可以开始。

事实上，某结点代表的事件是它的各入边代表的活动的共同作用结果，同时也是它的各出边代表的活动的启动条件。AOE网中没有入边的结点称为始点，没有出边的结点称为终点。AOE一般用来描述工程进度，结点表示工程进展中的状态，边表示子任务。图 21‑4就是一个AOE网，它可以看作是一个具有11项子任务和9个状态的假想工程的进度图。

(二) AOE网的操作

针对AOE网的操作一般有下列几种:

关键路径CPM(Critical Path Method)。这种操作最早用于维修与建筑行业中工期进度估算。

性能估计与复审PERT(Performance Evaluation and Review Technique)：该项操作最初是为了研制北极星式导弹系统而引入的。

资源分配与多工程调度RAMPS(Resource Allocation and Multi-Project Scheduling)

(三) 关键路径的若干基本概念

下面的阐述中，设AOE网的起点为v0终点为vn.

1．关键路径

AOE网中，从事件i到j的路径中，加权长度最大者称为i到j的关键路径（Critical Path），记为cp(i,j)。特别地，始点0到终点n的关键路径cp(0,n)是整个AOE的关键路径。

显然，关键路径决定着AOE网的工期，关键路径的长度就是AOE网代表的工程所需的最小工期。

2．事件最早/晚发生时间

事件vi的最早发生时间ve(i)定义为：从始点到vi的最长（加权）路径长度，即cp(0,i)

事件vi的最晚发生时间vl(i)定义为：在不拖延整个工期的条件下，vi的可能的最晚发生时间。即vl(i) = ve(n) - cp(i, n)

3．活动最早/晚开始时间

活动ak=<vi, vj>的最早开始时间e(k)：等于事件vi的最早发生时间，即

e(k) = ve(i) = cp(0, i)

活动ak=<vi, vj>的最晚开始时间l(k)定义为：在不拖延整个工期的条件下，该活动的允许的最迟开始时间，即

l(k) = vl(j) – len(i, j)

这里，vl(j)是事件j的允许的最晚发生时间，len(i, j)是ak的权。

活动ak的最大可利用时间：定义为l(k)-e(k)

4．关键活动

若活动ak的最大可利用时间等于0（即(l(k)=e(k)），则称ak 为关键活动，否则为非关键活动。

显然，关键活动的延期，会使整个工程延期。但非关键活动不然，只要它的延期量不超过它的最大可利用时间，就不会影响整个工期。

关键路径的概念，也可以用这里的关键活动定义，即有下面的：

(一) 基本算法

关键路径算法是一种典型的动态规划法，这点在学了后面的算法设计方法后就会看到。下面就来介绍该算法。设图G=(V, E)是个AOE网，结点编号为1,2,...,n，其中结点1与n 分别为始点和终点，ak=<i, j>∈E是G的一个活动。

根据前面给出的定义，可推出活动的最早及最晚发生时间的计算方法：

e(k) = ve(i)

l(k) = ve(j) - len(i,j)

结点的最早发生时间的计算，需按拓扑次序递推：

ve(1) = 0

ve(j) = MAX{ ve(i)+len(i, j) }　

对所有<i,j> ∈E的i 结点的最晚发生时间的计算，需按逆拓扑次序递推：

vl(n) = ve(n)

vl(i) = MIN{vl(j) - len(i, j)}　对所有<i,j>∈E的j

关于 ve与vl的求法，可参阅图 21‑5。

这种计算方法，依赖于拓扑排序，即计算ve( j) 前，应已求得j 的各前趋结点的ve值，而计算vl(i)前，应已求得i的各后继结点的vl值。ve的计算可在拓扑排序过程中进行，即在每输出一个结点i后，在删除i的每个出边<i,j>（即入度减1）的同时，执行

if ( ve[i]+len(i,j)) > ve[j] )　

ve[j] = ve[i] + len(i,j)

实际上，该操作对i的每个后继j分别进行一次。因此对程序作少量扩充即可求得ve。

vl的值可按类似的方法在逆拓扑排序过程（即直接按与拓扑序列相反的次序输出结点的过程）中求得，但一般不必专门这样进行。事实上，通过逆方向使用拓扑序列即可递推出各vl的值，假定拓扑序列是topoSeq，则vl 的值的求法为（结点编号为1~n）。

 for (k=1; k<=n; k++)  vl[k] = ve[n];   //初始化        for ( k=n; k>=1; k--)        {           i=topoSeq[k];           j=（i的第1个出点）;           while (j存在)          {             if (vl[j]-len(i,j)<vl[i])                     vl[i]=vl[j]-len(i,j);             j = （i的下一个出点）;           }         }

求图21-6 的AOE网的所有事件的最早发生时间ee()；所有事件的最迟发生时间le()；每项活动ai的最早开始时间e()和最迟开始时间l()，完成此工程最少需要多少天？那些是关键活动，是否存在某项活动，当其提高速度后能使整个工程缩短工期?

存储结构及算法设计

1、在结点的定义中增加ee和le 字段用于记录个事件的最早开始时间和最迟开始时间，同时得到关键路径和最小工期

2、邻接矩阵中使用边权代替原来连接标志1

3、进行拓扑排序，形成拓扑序列

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4、按拓扑序列顺序，从前向后搜索寻找个活动（即边），若存在该活动，则计算相应事件的最早开始时间。

5、按拓扑序列顺序，从后向前搜索寻找个活动（即边），若存在该活动，则计算相应事件的最迟开始时间。

6、计算各活动的最早开始时间和最迟开始时间

算法源程序：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MaxVerNum 20 int visited[MaxVerNum]; typedef char VertexType; typedef struct ArcNode{       int adjvex;                                         //该弧指向的顶点位置       struct ArcNode * nextarc;          //指向下一个表结点       int info;                                      //权值信息}ArcNode;                                              //边结点类型 typedef struct VNode{       VertexType data;       int indegree;       ArcNode * firstarc;}VNode, Adjlist[MaxVerNum]; typedef struct{       Adjlist vertices;            //邻接表       int vernum, arcnum;             //顶点数和弧数}ALGraph; //查找符合的数据在数组中的下标int LocateVer(ALGraph G, char u){       int i;       for(i = 0; i < G.vernum; i++)       {              if(u == G.vertices[i].data)                     return i;       }       if(i == G.vernum)       {              printf("Error u!\n");              exit(1);       }       return 0;} //常见图的邻接矩阵void CreateALGraph(ALGraph &G){       int i, j, k, w;       char v1, v2;       ArcNode * p;       printf("输入顶点数和弧数: ");       scanf("%d %d", &G.vernum, &G.arcnum);       printf("请输入顶点!\n");       for(i = 0; i < G.vernum; i++)       {              printf("请输入第 %d 个顶点: \n", i);              fflush(stdin);              scanf("%c", &G.vertices[i].data);              G.vertices[i].firstarc = NULL;              G.vertices[i].indegree = 0;       }        for(k = 0; k < G.arcnum; k++)       {              printf("请输入弧的顶点和相应权值(v1, v2, w): \n");              //清空输入缓冲区              fflush(stdin);              scanf("%c %c %d", &v1, &v2, &w);              i = LocateVer(G, v1);              j = LocateVer(G, v2);              p = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));              p->adjvex = j;              p->info = w;              p->nextarc = G.vertices[i].firstarc;              G.vertices[i].firstarc = p;              G.vertices[j].indegree++;                   //vi->vj, vj入度加1       }       return;} //求图的关键路径函数void CriticalPath(ALGraph G){       int i, k, e, l;       int * Ve, * Vl;       ArcNode * p;        //*****************************************       //以下是求时间最早发生时间       //*****************************************        Ve = new int [G.vernum];       Vl = new int [G.vernum];        for(i = 0; i < G.vernum; i++)              //前推              Ve[i] = 0;        for(i = 0; i < G.vernum; i++)       {              ArcNode * p = G.vertices[i].firstarc;              while(p != NULL)              {                     k = p->adjvex;                     if(Ve[i] + p->info > Ve[k])                            Ve[k] = Ve[i]+p->info;                     p = p->nextarc;              }       }       //*****************************************       //以下是求最迟发生时间       //*****************************************       for(i = 0; i < G.vernum; i++)              Vl[i] = Ve[G.vernum-1];       for(i = G.vernum-2; i >= 0; i--)                 //后推       {              p = G.vertices[i].firstarc;              while(p != NULL)              {                     k = p->adjvex;                     if(Vl[k] - p->info < Vl[i])                            Vl[i] = Vl[k] - p->info;                     p = p->nextarc;              }       }       //******************************************       for(i = 0; i < G.vernum; i++)       {              p = G.vertices[i].firstarc;              while(p != NULL)              {                     k = p->adjvex;                     e = Ve[i];              //最早开始时间为时间vi的最早发生时间                     l = Vl[k] - p->info;             //最迟开始时间                     char tag = (e == l) ? '*' : ' '; //关键活动                     printf("(%c, %c), e = %2d, l = %2d, %c\n", G.vertices[i].data, G.vertices[k].data, e, l, tag);                     p = p->nextarc;              }       }       delete [] Ve;       delete [] Vl;} void main(){       ALGraph G;       printf("以下是查找图的关键路径的程序。\n");       CreateALGraph(G);       CriticalPath(G);}