带树有向图的关键路径

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AOE网是一个带权的有向无环图，其中顶点表示事件，弧表示活动，权表示活动持续的时间。通常AOE-网可以用来估算工程的完成时间。

AOE网的性质：

（1）只有某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始。

（2）只有进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生。

关键路径：在AOE网中，从始点到终点具有最大路径长度（该路径上的各个活动所持续的时间之和）的路径为关键路径

关键活动：关键路径上的活动称为关键活动。

事件的最早发生时间Ve[k]：

Ve[k]是指从始点开始到顶点Vk的最大路径长度。这个长度决定了所有从顶点vk发出的活动能够开工的最早时间。

事件的最晚发生时间Vl[k]：

Vl[k]是指在不推迟整个工期的前提下，事件vk允许的最晚发生时间。

活动的最早开始时间e[i]

若活动ai由弧<vk,vj>表示，则活动ai的最早开始时间应该等于事件vk的最早发生时间。因而，有：e[i]=ve[k];

活动的最晚开始时间l[i]

活动ai的最晚开始时间是指，在不推迟整个工期的前提下，ai必须开始的最晚时间。ai由弧<vk,vj>表示，则ai的最晚开始时间要保证事件vj的最迟发生时间不拖后。 因而有：l[i]=vl[j]-len<vk,vj>1

例：如下图

如图，先求各事件的最早发生时间（顺序为V1~V9）

V1的最早发生时间为0，V2的最早发生时间为6，V3的最早发生时间为4，V4的最早发生时间为5

对于V5，需要V2，V3均发生，V2发生且完成的时间为6+1=7;  V3发生且完成的时间为4+1=5，因而V5的最早发生时间为7。同理各类似求出各顶点的最早发生时间

             V1      V2     V3      V4      V5        V6        V7       V8      V9

e(i)        0        6       4        5         7          7         16       14      18

求各事件的最晚发生时间（顺序为V9~V1）

V9的最晚时间为18，V8的最晚时间为18-a11=14，V7的最晚时间为18-a10=16，V6的最晚时间为14-a9=10，V5的最晚时间为V7的最晚时间减去a7和V8的最晚时间减去a8两者较小的，则V5的最晚时间为7，同理可得其他顶点的最晚发生时间

             V1      V2     V3      V4      V5        V6        V7       V8      V9

l(i)         0        6        6         8       7           10         16       14      18

 

求各活动的最早发生时间

            a1     a2      a3   a4     a5    a6      a7     a8     a9      a10      a11

e(i)       0       0        0     6       4       5       7       7       7      16        14

求各活动的最晚发生时间

ai由弧<vk,vj>表示，则l[i]=vl[j]-len<vk,vj>1

             a1              a2          a3         a4          a5         a6           a7             a8            a9              a10            a11 

l(i)         6-6=0      6-4=2     8-5=3     7-1=6     7-1=6     10-2=8    16-9=7      14-7=7      14-4=10     18-2=16    18-4=14     

则l[i]与e[i]相等的活动即为关键活动

即：a1，a4，a7，a8，a10，a11