组合数取模(sdut3895+HDU3037)逆元法或Lucas

组合数取模有三种方法
第一种是杨辉三角用数组跑,时间复杂度高
第二种使用逆元法求,适用于m,n较小,而mod较大的情况
第三种是Lucas定理适用于n,m较大的情况;

逆元法
记需要区域的数mod为p

p要求是质数,不然就GG吧

虽然有Cmn=n!m!(n−m)!，但由于取模的性质对于除法不适用

所以Cmn%p≠(n!%pm!%p(n−m)!%p)%p

所以需要把“除法”转换成“乘法”，才能借助取模的性质在不爆long long的情况下计算组合数。这时候就需要用到“逆元”！

逆元：对于a和p，若a*b%p≡1，则称b为a%p的逆元。

对于(ab)%p,假设c为b的逆元,即b∗c%p≡1,那么(ab)%p=(a∗b∗c%pb)

即(ab)%p=(a∗c%p)=((a%p)∗c%p)%p

你愿的求法有两种,一种是扩展欧几里得求逆元,转换成同余方程,另一种就是当p是质数时强大的费马小定理;

扩展欧几里得

a与b互质,存在n,m使方程am+bn=gcd(a,b)=1成立
a*m%b+0=1成立
m就是a%b的逆元.
求逆元代码:

long long inv(long long a,long long p){    long long x,y;    long long d=extend_gcd(a,p,x,y);    if(d==1) return (x%n+n)%n;     else return -1;}long long extend_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){    if(a==0&&b==0)return -1;    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return a;    }    long long d=extend_gcd(b,a%b,y,x);    y-=a/b*x;    return d;}

简便写法:

//a<plong long inv(long long a,long long p){    if(a==1)        return 1;    return inv(p%a,p)*(p-p/a)%p}

费马小定理:

对于质数a,ap−1%p≡1,又因为ap−1=ap−2∗p,所以ap−2是a的逆元,那样就可以用快速幂求逆元了

对于组合数n!m!(n−m)!%p=(n!m!%p∗1(n−m)!%p)%p

首先用费马小定理求m!的逆元记作m逆元=(m!)p−2,

然后求出(n−m)!的逆元记作nm逆元=((n−m)!)p−2

Cmn%p=n!m!(n−m)!%p=(n!m!%p∗1(n−m)!%p)%p=((n!%p∗m逆元%p)%p∗(1∗nm逆元%p)%p)%p

sdut3895(2017山东省赛C题)就是逆元求组合数的题目,不能用卢卡斯定理,TLE,TLE,TLE……….
SDUT3895题目链接
2017山东省赛C题题解

Lucas定理(大部分情况 p<105)

Cmn%p=(Cm%pn%p%p∗Cm/pn/p%p)%p

且C0n=1;

这样我们就可以用逆元法求出Cm%pn%p,然后递归求解Cmn%p
Lucas定理模板(C(m,n)代表Cmn)

long long Lucas(long long n,long long m)  {      if(m==0)          return 1;      return Lucas(n/p,m/p)*C(n%m,m%p)%p;  }  

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