【线性代数】各种特殊矩阵及表达式

来源：互联网发布：穷女孩会经历什么知乎编辑：程序博客网时间：2024/06/16 22:04

常见特殊矩阵有：

1.上三角矩阵/下三角矩阵，三对角矩阵，带状矩阵

2.Toeplitz矩阵，Hankel矩阵，Vandermonde矩阵

3.Z矩阵，M矩阵，H矩阵，对角占优阵，非负矩阵

4.对称矩阵，反对称矩阵，Hermite矩阵，反Hermite矩阵，正交矩阵，酉矩阵，正规矩阵

5.Hamilton矩阵，反Hamilton矩阵，辛矩阵，反辛矩阵

6.Hilbert矩阵，Cauchy矩阵

需留意的表达式有：

1. Toeplitz matrix，形如

$\begin{bmatrix}a & b & c & d & e \\f & a & b & c & d \\g & f & a & b & c \\h & g & f & a & b \\i & h & g & f & a \end{bmatrix}.$

2. Hankel matix，形如

$\begin{bmatrix}a & b & c & d & e \\b & c & d & e & f \\c & d & e & f & g \\d & e & f & g & h \\e & f & g & h & i \\\end{bmatrix}.$

刚好和就是toeplitz的transpose

3. Degree matrix，这个和拓扑学有关了，此矩阵只有main diagonal上有非零值，代表的是对应edge(node)所连接的vetices的数量（如果自循环则算两个）

$G=(V,E)$ ， $\|V\|=n$

对该图形而言，这个E对应的位置就应该填上n。每个E都算完后，其余位置均为0。

4. Adjacency matrix，也和拓扑学有关，为仅有1或者0的矩阵。

如果两个edge之间有vertex相连，则对应位置填1。因为这个性质，此矩阵为symmetric的，main diagonal上的1表示自循环。

5. Laplacian matix。由上面两位计算得到

L=D-A

6. Circulant matrix, T的变种，如下

$C=\begin{bmatrix}c_0 & c_{n-1} & \dots & c_{2} & c_{1} \\c_{1} & c_0 & c_{n-1} & & c_{2} \\\vdots & c_{1}& c_0 & \ddots & \vdots \\c_{n-2} & & \ddots & \ddots & c_{n-1} \\c_{n-1} & c_{n-2} & \dots & c_{1} & c_0 \\\end{bmatrix}.$

7. Symplectic matrix

指满足这个条件的M（2n*2n）矩阵： $M^T \Omega M = \Omega\,.$

其中，另一个矩阵必须是nonsingular, skew-symmetric matrix.，例如选　　 $\Omega =\begin{bmatrix}0 & I_n \\-I_n & 0 \\\end{bmatrix}$

是一个block matrix，I是单位矩阵(identity matix)。

8. Vandermonde matrix，形如

$V=\begin{bmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}\end{bmatrix}$

9. Hessenberg matrix

Hessenberg matrix is a special kind of square matrix, one that is "almost" triangular. To be exact, an upper Hessenberg matrix has zero entries below the first subdiagonal, and a lower Hessenberg matrix has zero entries above the first superdiagonal

例如：upper Hessenberg matrix

$\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 & 3 \\3 & 4 & 1 & 7 \\0 & 2 & 3 & 4 \\0 & 0 & 1 & 3 \\\end{bmatrix}$

10. Hessian matrix

对于实数函数 $f(x_1, x_2, \dots, x_n),\,\!$ 求二阶偏导（second-order partial derivatives），如下

$H(f) = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\[2.2ex]\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\[2.2ex]\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2.2ex]\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}\end{bmatrix}.$

11. 行矩阵

行矩阵又称行向量，记作A=（a1a2…an),为避免元素间的混淆，也记作A=(a1,a2,…an).

12. Hilbert matrix

矩阵的一种，其元素A（i,j）=1/(i+j-1)，i,j分别为其行标和列标。

[1，1/2，1/3，……，1/n]

|1/2，1/3，1/4，……，1/(n+1)|

|1/3，1/4，1/5，……，1/(n+2)|

……

[1/n，1/(n+1)，1/(n+2)，……，1/(2n-1)]

希尔伯特矩阵是一种数学变换矩阵，正定，且高度病态（即，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的行列式的值和逆矩阵都会发生巨大变化），病态程度和阶数相关。
Matlab中生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)；求希尔伯特矩阵的逆的函数是invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。（使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。）

13. Cauchy(柯西)矩阵

柯西矩阵（m×n阶）的定义如图，每一项元素，都是这样的倒数形式。

14. 矩阵表达式

15. 常用符号

diag(x)：对角矩阵，表示对角线元素为x的对角矩阵；

trace(A)：矩阵的迹，一个n×n矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数）

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参考：

各种特殊矩阵总结

常用表达式的矩阵表示

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