Lucas定理推导过程(全网最全,哈哈哈哈)

和大家一起学习Lucas定理,在网上找了好久都没有找到详细的推导过程,这大概就是传说中的的一血了吧

求证 Cmn=Cm/pn/p∗Cm%pn%p(mod(p))
p为素数

(mod(p))是两边同时取余p的意思

证明:
已知p为素数,将非负整数a转化成p-进制数:
a=akpk+ak−1pk−1+ak−1pk−2+....+a1∗k+a0
由于p是素数对于1≤j≤p−1,都有Cjp=pj∗Cj−1p−1≡0mod(p)
于是知(1+x)p=1+C1px+C2px−1+C3p+....+Cp−1pxp−1+Cppxp=1+∑p−1i=1Cjp+xp≡1+xpmod(p)

(1+x)p≡1+xpmod(p)①

设 n=sp+q,m=tp+r
即s=n/pq=n%pt=m/pr=m%p
(1+x)n=(1+x)sp+q=(1+x)sp∗(1+x)p=((1+x)p)s∗(1+x)q
代入公式①得:
(1+x)n=(1+xp)s∗(1+x)qmod(p)
对(1+xp)s和(1+xp)s∗(1+x)q分别进行二项式展开得
(1+xp)s∗(1+x)q=∑si=0(si)∗xi∗p∗∑qi=0(qj)∗xjmod(p)

即(1+x)n=∑i=0s(si)∗xi∗p∗∑i=0q(qj)∗xjmod(p)②

对(1+x)n进行二项式展开得:

(1+x)n=∑i=0sp+q(sp+qk)∗xk③

首先求③中xtp+r的系数为(sp+qtp+r)
然后求②中xtp+r,我们发现,当且仅当i = t , j = r ,能够得到xtp+r的系数,即为(st)(qr)

即(sp+qtp+r)=(st)(qr)(mod(p))

即(nm)=(n/pm/p)(n%pm%p)(mod(p))

即Cmn=Cm/pn/p∗Cm%pn%p(mod(p))