辗转相除法

辗转相除法， 又名欧几里德算法(Euclidean algorithm)乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至3000年前。

设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下:用a除以b，得a÷b=q......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b;若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q......r2 (0≤r2).若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r1除以r2，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零除数即为(a，b)。

设两数为a、b(b<a)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

第一步:令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc

第二步:根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步:根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步:可以断定m-kn与n互质【否则，可设m-kn=xd，n=yd，(d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证毕。

也就是说：

递归函数:R（a,b）

如果b=0，那么R=a

否则，R=R(b,a mod b). 

代码如下：

functionps(x,y:longint):longint;

begin        if y=0 then         exit(x)        else          exit(ps(y,x mod y));end;