【LeetCode系列】动态规划算法

前言

在知乎上看到有一篇对动态规划进行介绍的文章，觉得介绍的十分的好，这里贴出来和大家一起分享: 什么是动态规划？动态规划的意义是什么？ 其实在三年前也写了一篇用动态规划求解的问题： 开心的小明——动态规划， 但是昨天在求解Leetcode的问题 ： Longest Substring Without Repeating Characters 时又有动态规划的解法，看了知乎这篇文章之后觉得又加深了我的理解。

动态规划

• 动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移方程的定义。

引自维基百科

dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.

动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。
本题下的其他答案，大多都是在说递推的求解方法，但如何拆分问题，才是动态规划的核心。
而拆分问题，靠的就是状态的定义和状态转移方程的定义。

• 什么是状态的定义？

首先想说大家千万不要被下面的数学式吓到，这里只涉及到了函数相关的知识。
我们先来看一个动态规划的教学必备题：

给定一个数列，长度为N，求这个数列的最长上升（递增）子数列（LIS）的长度.以1 7 2 8 3 4为例。这个数列的最长递增子数列是 1 2 3 4，长度为4；次长的长度为3， 包括 1 7 8; 1 2 3 等.

要解决这个问题，我们首先要定义这个问题和这个问题的子问题。
有人可能会问了，题目都已经在这了，我们还需定义这个问题吗？需要，原因就是这个问题在字面上看，找不出子问题，而没有子问题，这个题目就没办法解决。

所以我们来重新定义这个问题：

给定一个数列，长度为N，设F_{k}为：以数列中第k项结尾的最长递增子序列的长度.求F_{1}..F_{N} 中的最大值.

显然，这个新问题与原问题等价。
而对于F_{k}来讲，F_{1} .. F_{k-1}都是F_{k}的子问题：因为以第k项结尾的最长递增子序列（下称LIS），包含着以第1..k-1中某项结尾的LIS。

上述的新问题F_{k}也可以叫做状态，定义中的“F_{k}为数列中第k项结尾的LIS的长度”，就叫做对状态的定义。

• 什么是状态转移方程？

上述状态定义好之后，状态和状态之间的关系式，就叫做状态转移方程。
比如，对于LIS问题，我们的第一种定义的状态方程为：

F_{1} = 1 （根据状态定义导出边界情况）F_{k}=max(F_{i}+1 | A_{k}>A_{i}, i\in (1..k-1)) (k>1)

这里可以看出，这里的状态转移方程，就是定义了问题和子问题之间的关系。

• 动态规划迷思

a. “缓存”，“重叠子问题”，“记忆化”：这三个名词，都是在阐述递推式求解的技巧。以Fibonacci数列为例，计算第100项的时候，需要计算第99项和98项；在计算第101项的时候，需要第100项和第99项，这时候你还需要重新计算第99项吗？不需要，你只需要在第一次计算的时候把它记下来就可以了。上述的需要再次计算的“第99项”，就叫“重叠子问题”。如果没有计算过，就按照递推式计算，如果计算过，直接使用，就像“缓存”一样，这种方法，叫做“记忆化”，这是递推式求解的技巧。这种技巧，通俗的说叫“花费空间来节省时间”。都不是动态规划的本质，不是动态规划的核心。

b. “递归”：递归是递推式求解的方法，连技巧都算不上。

c. “无后效性”，“最优子结构”：上述的状态转移方程中，等式右边不会用到下标大于左边i或者k的值，这是”无后效性”的通俗上的数学定义，符合这种定义的状态定义，我们可以说它具有“最优子结构”的性质，在动态规划中我们要做的，就是找到这种“最优子结构”。

需要注意的是，一个问题可能有多种不同的状态定义和状态转移方程定义，存在一个有后效性的定义，不代表该问题不适用动态规划。这也是其他几个答案中出现的逻辑误区：动态规划方法要寻找符合“最优子结构“的状态和状态转移方程的定义，在找到之后，这个问题就可以以“记忆化地求解递推式”的方法来解决。而寻找到的定义，才是动态规划的本质。

Leetcode解法

参考上述解法， 我假设F（K）为到字符串第K个字母所具备的最长子串，那么导出状态方程为

F(1) = 1;F（k）= F(k-1)+1 (如果第K个字母不在F(K-1)对应的最长子串中)F（K）= 1(如果第K个字母在F(K-1)对应的最长子串中)

得到了如下的递归解法：

public class Solution {    List<String> results = new ArrayList<String>();    public int lengthOfLongestSubstring(String s) {        int max = 0;        if(s.length() == 0){            return 0;        }else{        maxLengthbeforeK(s, s.length());        for(String str : results){            if(max < str.length()){                max = str.length();            }        }        return max;        }    }    private String maxLengthbeforeK(String s, int k){        String result = new String();        if(k ==1) {            result = String.valueOf(s.charAt(0));            results.add(0, result);        }else{        result = maxLengthbeforeK(s, k-1);        if(result.contains(String.valueOf(s.charAt(k-1)))){            result = String.valueOf(s.charAt(k-1));        }else{            result += String.valueOf(s.charAt(k-1));         }            results.add(k-1, result);        }        return result;    }}

但是对于递归解法，有测试例无法通过，显示栈溢出，只得采用其他的解法。

public class Solution {    public int lengthOfLongestSubstring(String s) {        int n = s.length();        int ans = 0;        for (int i = 0; i < n; i++)            for (int j = i + 1; j <= n; j++)                if (allUnique(s, i, j)) ans = Math.max(ans, j - i);        return ans;    }    public boolean allUnique(String s, int start, int end) {        Set<Character> set = new HashSet<>();        for (int i = start; i < end; i++) {            Character ch = s.charAt(i);            if (set.contains(ch)) return false;            set.add(ch);        }        return true;    }}

而通过上述解题我们发现使用动态规划的核心还是在数学建模，如何构建状态和状态迁移方程式关键，那么在小明的背包这个问题中是如何建模的呢？

这里C[i, w] 表示在钱为W时，第i个值所导致的最大的价值和。