卢卡斯定理&扩展卢卡斯定理

来源：互联网发布：神木法院淘宝网下载编辑：程序博客网时间：2024/05/29 13:25

卢卡斯定理

求Cnm mod p
设m=a0p0+a1p1+⋯+akpk,n=b0p0+b1p1+⋯+bkpk
则Cnm≡∏Cbiai(mod p)

扩展卢卡斯定理

好像这也不是什么定理，只是一个计算方法
计算Cnm mod p，其中p=p1q1×p2q2×⋯pkqk时，我们可以先求出Cnm mod piqi，然后用CRT合并。
那么怎么计算Cnm mod piqi呢？
Cnm=m!n!(m−n)!，我们只需要算出m!,n!−1,(m−n)!−1，然后乘在一起。
zjt大爷：n!可能在模piqi的意义下没有逆元啊，那这就是错的了啊
其实这里求得不是逆元（可能没有逆元），求出来的是a×pib(gcd(a,p)=1)，前面的a用逆元，后面的次数加加减减一下就好了
问题转换成求n! mod pq
例如n=19,p=3,q=2：

19!

= 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 19

= (1 \times 2 \times 4 \times 5 \times 7 \times 8 \dots \times 16 \times 17 \times 19) \times (3 \times 6 \times 9 \times 12 \times 15 \times 18)

= (1 \times 2 \times 4 \times 5 \times 7 \times 8 \dots \times 16 \times 17) \times 19 \times 36 \times (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6)

= (1 \times 2 \times 4 \times 5 \times 7 \times 8) 2 \times 19 \times 36 \times (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6)

上面这个式子分为四部分：
第一部分：

(1×2×4×5×7×8)2。这部分的数不超过

pq个，可以暴力算
第二部分：

19。这部分的数不超过

pq个，可以暴力算
第三部分：

36。这个在最后处理时求出

m!,n!,(m−n)!分别有多少个

p（设为

x,y,z），则答案要乘上

px−y−z
第四部分：

1×2×3×4×5×6。这个是

⌊np⌋!，可以递归处理

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