用python+numpy+matplotalib实现梯度下降法

这个阶段一直在做和梯度一类算法相关的东西，索性在这儿做个汇总，

一、算法论述

梯度下降法(gradient  descent)别名最速下降法（曾经我以为这是两个不同的算法-.-）,是用来求解无约束最优化问题的一种常用算法。下面以求解线性回归为题来叙述：

设：一般的线性回归方程（拟合函数）为：（其中的值为1）

  

则这一组向量参数选择的好与坏就需要一个机制来评估，据此我们提出了其损失函数为(选择均方误差)：

我们现在的目的就是使得损失函数取得最小值，即目标函数为：

如果的值取到了0，意味着我们构造出了极好的拟合函数，也即选择出了最好的值，但这基本是达不到的，我们只能使得其无限的接近于0，当满足一定精度时停止迭代。

那么问题来了如何调整使得取得的值越来越小呢？方法很多，此处以梯度下降法为例：

分为两步：（1）初始化的值。

                  （2）改变的值，使得按梯度下降的方向减少。

值的更新使用如下的方式来完成：

        

其中为步长因子，这里我们取定值，但注意如果取得过小会导致收敛速度过慢，过大则损失函数可能不会收敛，甚至逐渐变大，可以在下述的代码中修改的值来进行验证。后面我会再写一篇关于随机梯度下降法的文章，其实与梯度下降法最大的不同就在于一个求和符号。

 

二、代码实现：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import axes3dfrom matplotlib import style#构造数据def get_data(sample_num=100): """ 数据构造函数为（真实的y值） y = 5*x1 + 7*x2 :return: """ x1 = np.linspace(0, 9, sample_num) x2 = np.linspace(4, 13, sample_num) x = np.concatenate(([x1], [x2]), axis=0).T y = np.dot(x, np.array([5, 7]).T) print(x) print(y) return x, y#梯度下降法def GD(samples, y, step_size=0.01, max_iter_count=10000): """ :param samples: 样本 :param y: 结果value :param step_size: 每一接迭代的步长 :param max_iter_count: 最大的迭代次数 :param batch_size: 随机选取的相对于总样本的大小 :return: """ #确定样本数量以及变量的个数并初始化theta值 m, var = samples.shape theta = np.zeros(2) y = y.flatten() #进入循环内 loss = 1 iter_count = 0 iter_list=[] loss_list=[] theta1=[] theta2=[] #当损失精度大于0.01且迭代此时小于最大迭代次数时，进行 while loss > 0.001 and iter_count < max_iter_count: loss = 0 #梯度计算 theta1.append(theta[0]) theta2.append(theta[1]) for i in range(m): h = np.dot(theta.T,samples[i]) #更新theta的值,需要的参量有：步长，梯度 for j in range(len(theta)): theta[j] = theta[j] - step_size*(1/m)*(h - y[i])*samples[i][j] #计算总体的损失精度，等于各个样本损失精度之和 for i in range(m): h = np.dot(theta.T, samples[i]) #每组样本点损失的精度 every_loss = (1/(var*m))*np.power((h - y[i]), 2) loss = loss + every_loss print("iter_count: ", iter_count, "the loss:", loss) iter_list.append(iter_count) loss_list.append(loss) iter_count += 1 plt.plot(iter_list,loss_list) plt.show() return theta1,theta2,theta,loss_listdef painter3D(theta1,theta2,loss): style.use('ggplot') fig = plt.figure() ax1 = fig.add_subplot(111, projection='3d') x,y,z = theta1,theta2,loss ax1.plot_wireframe(x,y,z, rstride=5, cstride=5) plt.show() if __name__ == '__main__': samples, y = get_data() theta1,theta2,theta,loss_list = GD(samples, y) print(theta) # 会很接近[5, 7] painter3D(theta1,theta2,loss_list)

三、绘制的图像如下：

迭代次数与损失精度间的关系图如下：步长为0.01

变量、与损失函数loss之间的关系：（从初始化之后会一步步收敛到loss满足精度，之后、会变的稳定下来）

下面我们来看一副当步长因子变大后的图像：步长因子为0.5（很明显其收敛速度变缓了）

当步长因子设置为1.8左右时，其损失值已经开始震荡