bzoj P4870 [Shoi2017]组合数问题

传送门

炒鸡强的dp啊，原来组合题还可以这么做，用组合的意义来dp，只做过用组合优化dp。

我们考虑一下那个式子的意义:

nk个东西中取r个的方案数+nk个东西取k+r个的方案数+nk个东西取2k+r个的方案数+...

然后进一步转化问题：从nk个物品里选取膜k余r个物品的方案数。

那么怎么求这个问题呢?

很容易能想到一个简单的dp，设f[i][j]表示前i个物品取了膜k余j的方案数，转移很简单,f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][(j+k-1)%k]，一个取i，一个不取i。

然后我们发现这个式子只与f[i-1]有关，那么直接上矩阵快速幂。

代码：

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<string.h>#define ll long longusing namespace std;const int Maxn=55;int p,k,r;ll n;struct _Matrix{ll Matrix[Maxn][Maxn];_Matrix(){for(int i=0;i<=53;i++)for(int j=0;j<=53;j++)Matrix[i][j]=0;}}f,m;_Matrix operator * (_Matrix a,_Matrix b){_Matrix c;for(int i=0;i<k;i++)for(int j=0;j<k;j++)for(int l=0;l<k;l++)c.Matrix[i][j]=(c.Matrix[i][j]%p+(a.Matrix[i][l]%p*b.Matrix[l][j]%p)%p)%p;return c; }_Matrix operator ^ (_Matrix a,ll b){_Matrix c;for(int i=0;i<k;i++)c.Matrix[i][i]=1;while(b){if(b&1)c=c*a;a=a*a;b>>=1;}return c;} int main(){scanf("%lld%d%d%d",&n,&p,&k,&r);for(int i=0;i<k;i++)m.Matrix[(i-1+k)%k][i]++,m.Matrix[i][i]++;n*=k;m=m^n;f.Matrix[0][0]=1;f=f*m;printf("%lld",f.Matrix[0][r]%p);return 0;}