八大排序算法之插入排序

  排序分为内部排序和外部排序，内部排序时数据记录在内存中进行排序，适用于数据量比较少的情况；而外部排序因数据量太大，内存一次不能容纳所有的数据，此时需要借助文件来进行排序。

        本文这里介绍的八大排序为内部排序，然后通过内部排序来实现一种外部排序。

        下面先对排序进行分类如下：

        

在具体实现排序之前，先介绍三个衡量算法性能的标准—时间复杂度、空间复杂度和稳定性。

时间复杂度：一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

空间复杂度：空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量

稳定性：假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，ri=rj，且ri在rj之前，而在排序后的序列中，ri仍在rj之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。

这里先介绍插入排序中的直接插入排序和希尔排序，以下例子以升序为例。

一、直接插入排序（Insert Sort）

1.基本思想

直接插入排序的思想和生活中打扑克理牌的过程。打扑克牌时要将每张牌按顺序整理好，比如说刚开始摸了张7，

只有一张牌不用排序；又摸了张5，从后往前找第一张比5打的牌，将5插入该牌之前；然后摸了张3，同理将3插在已有的牌中第一张比3小的牌之前，同理后面出现的牌根据点数依次找到插入的位置即可。

  直接插入排序的过程和上面描述的整理扑克牌的过程很相似。总结一下分为三步：(1)找位置;(2)移动数组;(3)将待排序的书插入。

2.排序过程

       以数组{7,5,3,9,6}为例进行说明，排序过程如下：

3.代码实现与分析

(1)代码实现

void Insert_Sort(int *pArray, int iLen){int iCount;int iIndex;int iTemp;//n个数最多排(n-1)趟for (iCount = 1; iCount < iLen; ++iCount){iTemp = pArray[iCount];//先将待排序元素存入临时变量中//找位置，从前往后找第一个比待排序元素大的元素，记录其位置for (iIndex = 0; iIndex < iCount; ++iIndex){if (iTemp < pArray[iIndex]){break;}}//找到第一个比待排序元素大的元素以后，整体后移for (int i = iCount; i > iIndex; --i){pArray[i] = pArray[i - 1];}//整体后移以后插入待排序元素pArray[iIndex] = iTemp;}}

 

(2)分析

        一般分析一个算法都是从时间复杂度、空间复杂度和稳定性来进行分析。

a)时间复杂度

       从程序中可以看出，嵌套了两层循环。第一层循环用于控制循环的次数，N个数训话N-1次；第二层循环用于找元素插入的位置和移动元素，这两个循环是并列关系，所以在计算时间复杂度时可以看成一层循环。所以时间复杂度为O（N^2）.

b)空间复杂度

       从上面代码中可以看出，不管有多少个元素进行排序，都只使用了一个额外的临时变量，所以空间复杂度为O(1)。

c)稳定性

       本算法是稳定的，读者可以根据程序自行证明一下。

4.程序改进

      上面的程序在最好的情况下（即原始数组有序）的时间复杂度也为O（N^2），这就让我们觉得不太合理，应该有一种方法在数组有序的情况下加速排序过程。仔细思考上面的代码，发现之所以最好的情况下时间复杂度也为O(N^2)，是因为以下这个循环始终都会进行：

       

        for (iIndex = 0;iIndex < iCount; ++iIndex)        {            if (iTemp < pArray[iIndex])            {                              break;            }        }

        因为每次都是从前往后找，所以即使原始数据有序循环还是全部执行。

为了改善上面的问题，我们换一种思路。上面的程序是从前往后找，找到插入的位置以后再整体移动；我们可以从后往前找，找第一个比待排序元素小的元素，假设现在序列为{5， 7， 3}

待排序元素为3，此时3先和7比较，发现7比3大，此时7往后移一个位置（这里就是和上面程序不同之处，将比较和移位放在一个循环中进行）；然后3和5比较，发现5也比3大，然后5也后移一个位置，此时再将3插入到5之前即可。

 

代码实现如下：

void Insert_Sort_(int *pArray, int iLen){int iCount;int iIndex;int iTemp;//n个数最多排(n-1)趟for (iCount = 1; iCount < iLen; ++iCount){iTemp = pArray[iCount];//先将待排序元素存入临时变量中//找位置，从后往前找第一个比待排序元素小的元素。改进之处：边找边移位for (iIndex = iCount - 1; iIndex >= 0; --iIndex) // 1 2 3 4 5{if (iTemp >= pArray[iIndex]){break;}else{pArray[iIndex + 1] = pArray[iIndex];}}//插入待排序元素pArray[iIndex + 1] = iTemp;}}

分析：

       此时假设元素数组元素有序{1，2，3，4，5}，里面的循环每次都只比较一次就break了，所以此时的时间复杂度在最好的情况下降到了O(1)。

小结：直接插入排序越有序越快。

二、希尔排序

1.基本思想

        希尔排序和直接插入排序一样都是插入排序的一种，而且希尔排序是在直接插入排序的基础上发展而来，因为每一趟希尔排序的过程用的都是直接插入排序。借助直接插入排序越有序越快这一特点，我们先对原始数据进行间隔性分组，先使组内有序，然后再缩小间隔，再使组内有序；直到间隔为1的时候，再进行排序即可。

        总结一下步骤：(1)先定义分组间隔；(2)根据间隔进行分组，使用直接插入排序使组内有序；(3)最后一趟排序过程的间隔必须为1，此时再使用直接插入排序即可。

2.排序过程

        假设原始待排序列为{12, 4,6, 9, 0, 34, 56, 7, 8, 10, 23, 45, 21, 11, 2},间隔序列为{5， 3， 1}。刚开始以5为间隔进行分组，则分组情况如下：

同理，可得到间隔为3和间隔为1时的排序序列。

(1).代码分析与实现

void ShellSort(int *pArray, int iLen){int iDlt_a[] = {3, 1 };for (int i = 0; i < (sizeof(iDlt_a) / sizeof(*iDlt_a)); ++i){Shell(pArray, iLen, iDlt_a[i]);}}//一趟希尔排序其实就是一趟直接插入排序void Shell(int *pArray, int iLen, int dlt){int iCount;int iIndex;int iTemp;for (iCount = dlt; iCount < iLen; iCount++)  //需要iLen-dlt趟{iTemp = pArray[iCount];//临时变量暂存待排序的值for (iIndex = iCount - dlt; iIndex >= 0; iIndex -= dlt){if (pArray[iIndex] < iTemp) //满足条件说明找到第一个比待排序元素小的元素，iIndex指向其位置{break;}else{pArray[iIndex + dlt] = pArray[iIndex];}}pArray[iIndex + dlt] = iTemp;//iIndex指向的是第一个比待排序元素小的元素的位置，我们应该把待排序元素插在iIndex之前，即iIndex+dlt}}

(2)分析

       希尔排序的分析是一个复杂的问题，因为它的时间是所取“增量”序列的函数，这涉及到数学上一些尚未解决的难题。下面的分析摘自《数据结构（严蔚敏）》,仅供参看。

a）时间复杂度

      时间复杂度为O(n^1.3) ~ O(n^1.5).

b)空间复杂度

      从上面的程序中可以看出，用到的额外空间主要是一个增量序列和一个临时变量，这两个在程序运行前都是确定好的，是不会随着待排序规模的增改而改变的，所以希尔排序的时间复杂度为O(1)。

c)稳定性

     不稳定。跳跃式的交换数据都不稳定。