3505: [Cqoi2014]数三角形

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题目大意：给一张m*n的网格，问这里面以网格为顶点的三角形有多少个

题解：坐标从0开始，所以有(n+1)*(m+1)个点，输入后n++，m++

不考虑共线的话是C3n∗m，然后需要减去横竖斜三种共线
横竖明显是n∗C3m和m∗C3n

下面考虑斜共线

结论：(0,0)和(i,j)连线上整点的个数为gcd(i,j)+1(包括(0,0)和(i,j))

固定点(0,0)，枚举点(i,j)，这样就确定了斜率k，只需要统计k为正的即可（负的可以通过翻转，0和不存在已经计算过了），考虑所成线段，中间有gcd(i,j)−1个点

乘上(n-i)*(m-j)，即通过平移能找到多少条这样的线段

有两种情况：一种是枚举的(0,0)-(i,j)，即从左下角->右上角，还有一种(i,0)->(0,j)，即从右下角->左上角，这两种情况是相同的，最后要乘2

我的收获：思考方向

#include <cstdio>  #include <cstring>  #include <cstdlib>  #include <cmath>  #include <iostream>  #include <algorithm>  using namespace std;  int n,m;long long ans;  long long C(int x){return (long long)x*(x-1)*(x-2)/6;}  void work(){    ans=C(n*m)-C(n)*m-C(m)*n;    for(int i=1;i<n;i++)          for(int j=1;j<m;j++)            ans-=2ll*(__gcd(i,j)-1)*(n-i)*(m-j);    printf("%lld\n",ans);  }void init(){    cin>>n>>m;n++;m++;} int main()  {      init();    work();    return 0;  }