数据结构与算法专题之树——树与二叉树的定义与性质

　　本专题的内容是树，是一种区别于线性表的另一种逻辑的数据结构，它作为数据结构中最重要的部分之一，我们有必要熟练理解并掌握树的相关概念及应用。本章作为本专题第一章节，主要介绍树的一些定义以及二叉树的定义和重要性质，二叉树作为及其重要的数据结构，内容及其变形应用是相当复杂的，我们计算机专业的有相当一部分人都会在数据结构考试的时候“挂在树上”，不过不要担心，从简单的性质学起，循序渐进地搞定它们。进入主题，树与二叉树。

树

定义

　　树（tree）是包含n（n>0）个结点的有穷集，其中：
　　（1）每个元素称为结点（node）；
　　（2）有一个特定的结点被称为根结点或树根（root）。
　　（3）除根结点之外的其余数据元素被分为m（m≥0）个互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵树，被称作原树的子树（subtree）。
　　树也可以这样定义：树是由根结点和若干颗子树构成的。树是由一个集合以及在该集合上定义的一种关系构成的。集合中的元素称为树的结点，所定义的关系称为父子关系。父子关系在树的结点之间建立了一个层次结构。在这种层次结构中有一个结点具有特殊的地位，这个结点称为该树的根结点，或称为树根。
　　我们可以形式地给出树的递归定义如下:
　　单个结点是一棵树，树根就是该结点本身。
　　设T1,T2,..,Tk是树，它们的根结点分别为n1,n2,..,nk。用一个新结点n作为n1,n2,..,nk的父亲，则得到一棵新树，结点n就是新树的根。我们称n1,n2,..,nk为一组兄弟结点，它们都是结点n的子结点。我们还称T1,T2,..,Tk为结点n的子树。

　　空集合也是树，称为空树。空树中没有结点。

　　如上图所示，黑色的是树形结构，粉色框起来的部分是整棵树，箭头所指是整棵树根结点，它的每一个子节点都可以作为它子树的根，如图，蓝色和橙色是粉色的子树，绿色是蓝色的子树。

相关术语

　　结点的度：一个结点含有的子结点的个数称为该结点的度；
　　叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；
　　非终端结点或分支结点：度不为0的结点；
　　双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；
　　孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；
　　兄弟结点：具有相同父节点的结点互称为兄弟结点；
　　树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；
　　节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
　　树的高度或深度：树中结点的最大层次；
　　堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；
　　节点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点
　　子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
　　森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

二叉树

　　先说一下，二叉树是树中最特殊、最强大、最优美的一种，没有之一。

定义

　　二叉树是每个结点最多有两个子树的树型结构，我们把子树称为“左子树”和“右子树”，左子树和右子树也各自是一棵二叉树。需要注意的是，二叉树的子树左右有别，次序并不能颠倒。不难看出，二叉树是递归定义的，所以二叉树的相关题目基本都是通过递归来解决，当然也有例外。

　　二叉树在逻辑上有五种基本形态，如图：

　　(a) 空二叉树，就是啥都没有

　　(b) 只有一个根结点的二叉树

　　(c) 所有结点都只有左子树

　　(d) 所有结点都只有右子树

　　(e) 满二叉树（除了最下面一层叶子结点其他结点均有左右子树）

与树的区别

　　1. 树对于结点的度没有限制，而二叉树每个结点的度最大为2。

　　2. 树的结点可以无序，但二叉树结点有左右之分。

完全二叉树

　　我们不难发现，对于二叉树来说，每一层都有最大结点数量，比如第2层最多2个结点，第3层最多4个，第4层最多8个，第i层最多2^i-1个。

　　完全二叉树的定义，就是假设树的高度为h，则除了第h层以外，每一层都达到了最大结点数，并且第h层的结点都是从左到右依次排列的，如图所示，除了(a)，其他都不是完全二叉树：

满二叉树

　　满二叉树是完全二叉树的特殊情况，顾名思义就是对于高度为h的二叉树，每一层都“满了”，都达到了最大结点数量，如下图就是一棵满二叉树，当然，它也是完全二叉树：

二叉树的基本性质

　　1. 在非空二叉树中，第i层的结点总数不超过2^i-1 ,i>=1；
　　2. 深度为h的二叉树最多有2^h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；
　　3. 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N₀，而度数为2的结点总数为N₂，则N₀=N₂+1；
　　4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为log₂(n+1)
　　5. 有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：
　　　若I为结点编号则 如果I>1，则其父结点的编号为I/2；
　　　(1) 如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；
　　　(2) 如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
　　6. 给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树。h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(2*n，n)/(n+1)。
　　7.  设有i个枝点，I为所有枝点的道路长度总和，J为叶的道路长度总和J=I+2i[4]

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