《概率论与数理统计_浙江大学》_第一章_概率论基本概念

教材

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1. 随机实验

特点：
i. 可在相同条件下重复地进行
ii. 每次结果不止一个，事先知晓全部可能结果
iii. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

2. 样本空间、随机事件

i. 将随机实验 E 的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为 S
ii. E 中的每个结果为样本点
iii. 试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件，简称事件
iv. 德摩根律：A∪B¯¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯∩B¯¯¯， A∩B¯¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯∪B¯¯¯

3. 频率与概率

a. 频率：描述事件发生的频繁程度（频数、频率）
b. 概率：表征事件在一次试验中发生的可能性大小
        i. 非负性：对于每一个事件 A，有 P(A)≥0
       ii. 规范性：对于必然事件 S ，有 P(S)=1
      iii. 可列可加性：Ai,Aj 不相容事件，对于AiAj=ϕ，i≠j，所以有：

P(Ai∪Aj)=P(Ai)+P(Aj)

c. 概率性质：
        i. P(ϕ)=0
       ii. Ai，Aj不相容，P(Ai∪Aj)=P(Ai)+P(Aj)，i≠j
      iii. A⊂B，则P(B−A)=P(B)−P(A)
      iv. 任意事件A，有P(A)≤1
       v. 任意事件A，有P(A¯¯¯)=1−P(A)
      vi. 任意两事件A,B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)+P(ABC)
          推广n事件（归纳法证明，每项前的系数为：奇正偶负）

P(A1∪A2∪...∪An)=∑i=1nP(Ai)−∑1≤i<j≤nnP(AiAj)+∑1≤i<j<k≤nnP(AiAjAk)+...+(−1)n−1P(A1A2...Pn)

4. 等可能概型（古典概型）

i. 试验的样本空间只包含有限个元素
ii. 试验中每个基本事件发生的可能性相同
（注：一般试验分为放回抽样和不放回抽样）

5. 条件概率

a. 事件 A 已发生的条件下，事件 B 发生的概率
b. 定义：设A、B是两个事件，且P(A)>0，称：

P(B|A)=P(AB)P(A)

式子的意义为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率。
        i. 非负性：对于每一事件B，有P(B|A)≥0
       ii. 规范性：对于必然事件S，有P(S|A)=1
      iii. 可列可加性：设B1,B2,...是两两互不相容事件，则有：

P(⋃i=1∞Bi|A)=∑i=1∞P(Bi|A)=P(B1|A)+P(B2|A)+...

条件概率符合概率三条性质，那么也符合概率的推论，所以有：

P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)−P(B1B2|A)

c. 由条件概率定义可得乘法定理：
设P(A)>0，则有：

P(AB)=P(B|A)⋅P(A)

推广n个事件,设有A1,A2,...,An为n个事件,n≥2,且P(A1A2...An−1)>0,则有：

P(A1...An)=P(An|A1...An−1)⋅P(An−1|A1...An−2)...P(A2|A1)⋅P(A1)

d. 全概率与贝叶斯
样本空间的划分定义：设S为实验E的样本空间，B1,B2,...,Bn为E的一组事件，若：
        i. BiBj=ϕ，i≠j，i,j=1,2,...,n
       ii. B1∪B2∪...∪Bn=Sn
则称B1,B2,...,Bn为样本空间S的一个划分

定理（全概率公式）：

设实验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件, B1,...,Bn 为 S 的一个划分,且 P(Bi)>0,(i=1,2,...,n)，则：

P(A)=P(A|B1)⋅P(B1)+P(A|B2)⋅P(B2)+...+P(A|Bn)⋅P(Bn)

证明⇒
A=AS=A(B1∪...∪Bn)=AB1∪...∪ABn
由假设P(Bi)>0(i=1,2,...,n),且(ABi)⋅(ABj)=ϕ，i=j，i,j=1,2,...,n得：

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABn)=P(A|B1)⋅P(B1)+P(A|B2)⋅P(B2)+...+P(A|Bn)⋅P(Bn)

定理（贝叶斯公式）：

实验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件, B1,...,Bn 为 S 的一个划分, P(A)>0,P(Bi)>0,(i=1...n) ,则：

P(Bi|A)=P(A|Bi)⋅P(Bi)∑nj=1P(A|Bj)⋅P(Bj),i=1...n

证明⇒由条件概率定义及全概率公式可证。

P(Bi|A)=P(BiA)P(A)=P(A|Bi)⋅P(Bi)∑nj=1P(A|Bi)⋅P(Bj),i=1,2,...,n

6. 独立性

设 A、B 为试验 E 的两事件，若 P(A)>0 ，可以定义 P(B|A) ，一般， A 的发生对 B 发生的概率是有影响的，这时 P(B|A)≠P(B) ，只有这种影响不存在时，才会有 P(B|A)=P(B) ，这时有：

P(AB)=P(B|A)⋅P(A)=P(A)⋅P(B),（称A,B独立）

若P(A)>0,P(B)>0,则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立。
定义：设 A,B,C 是三个事件，如果满足等式：

P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

则称事件 A,B,C 相互独立。
    一般，设 A1,A2,...,An 是 n(n≥2) 个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意 n 个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件 A1,A2,...,An 相互独立。