玲珑杯1114（组合数）

题意：求有多少个以$1$号点为根的$N$个点的带标号有根树， 满足深度为奇数的点恰有$K$个， 答案对$998244353$取模

根的深度为$1$

$\mathrm{分析：记SMN\; 为左边N个点，\; 右边M}$

个点的完全二分图生成树个数

答案即$S_{N-K}^K\times (\frac{N-1}{K-1})$

， 证明显然， 因为把树上的点按照奇偶分层，即得到一个二分图， 每一棵树都对应了这个完全二分图的一个生成树

$S_N^M=N^{M-1}\times M^{N-1}$

， 暴力用$Matrix-Tree$可以消元得到这个结论。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const ll mod=998244353;const int maxn=500000;ll fac[maxn+10];ll inv[maxn+10];ll mul(ll a,ll b){    ll ans=1;    while(b)    {        if(b&1)            ans=(ans*a)%mod;        b>>=1;        a=(a*a)%mod;    }    return ans;}void init(){    fac[0]=1;    for(int i=1;i<=maxn;i++)        fac[i]=(i*fac[i-1])%mod;}ll mod_fact(ll n,ll &e){    e=0;    if(n==0)return 1;    ll res=mod_fact(n/mod,e);    e+=n/mod;    if(n/mod%2!=0)        return res*(mod-fac[n%mod])%mod;    else        return res*fac[n%mod]%mod;}ll extgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){    ll d=a;    if(b!=0){d=extgcd(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;}    else{x=1,y=0;}    return d;}ll mod_inv(ll a){    ll x,y;    extgcd(a,mod,x,y);    return (mod+x%mod)%mod;}ll lucas(ll n,ll k){    if(n<0||k<0||n<k)return 0;    ll e1,e2,e3;    ll a1=mod_fact(n,e1);    ll a2=mod_fact(k,e2);    ll a3=mod_fact(n-k,e3);    if(e1>e2+e3)return 0;    return a1*mod_inv(a2*a3%mod)%mod;}int main(){    ll n,k;    init();    while(~scanf("%lld%lld",&n,&k))    {        ll ans=1;        ans=(ans*mul(k,n-k-1))%mod;        ans=(ans*mul(n-k,k-1))%mod;        //printf("%lld\n",ans);        ans=(ans*lucas(n-1,k-1))%mod;        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}