SDUT-数据结构实验之图论八：欧拉回路

数据结构实验之图论八：欧拉回路

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Problem Description

在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来。



能否走过这样的七座桥，并且每桥只走一次？瑞士数学家欧拉最终解决了这个问题并由此创立了拓扑学。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡七桥问题，并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。

你的任务是：对于给定的一组无向图数据，判断其是否成其为欧拉图？

Input

连续T组数据输入，每组数据第一行给出两个正整数，分别表示结点数目N(1 < N <= 1000)和边数M；随后M行对应M条边，每行给出两个正整数，分别表示该边连通的两个结点的编号，结点从1～N编号。 

Output

若为欧拉图输出1，否则输出0。

Example Input

16 101 22 33 14 55 66 41 41 63 43 6

Example Output

1

Hint

如果无向图连通并且所有结点的度都是偶数，则存在欧拉回路，否则不存在。 

Author

xam

参考：http://blog.csdn.net/guoqingshuang/article/details/50054713

判断是否存在欧拉回路（充要条件）：1.无向图：为连通图且顶点度数皆为偶数    2.有向图：为连通图且顶点入度皆等于出度

3.要判断一个混合图G（V,E）（既有有向边又有无向边）是欧拉图，方法如下：
假设有一张图有向图G'，在不论方向的情况下它与G同构。并且G'包含了G的所有有向边。那么如果存在一个图G'使得G'存在欧拉回路，那么G就存在欧拉回路。
其思路就将混合图转换成有向图判断。实现的时候，我们使用网络流的模型。现任意构造一个G'。用Ii表示第i个点的入度，Oi表示第i个点的出度。如果存在一个点k，|Ok-Ik|mod 2=1，那么G不存在欧拉回路。接下来则对于所有Ii>Oi的点从源点连到i一条容量为(Ii-Oi)/2的边，对于所有Ii<Oi的点从i连到汇点一条容量为(Oi-Ii)/2的边。如果对于节点U和V，无向边（U，V）∈E，那么U和V之间互相建立容量为无限大的边。如果此网络的最大流等于∑|Ii-Oi|/2，那么就存在欧拉回路。

//BFS

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int e[1010][1010],num[1010],v[1010],top=1,n;void BFS(int x){    queue<int>q;    q.push(x);    while(!q.empty())    {        int x1=q.front();        q.pop();        for(int i=1;i<=n;i++)        {            if(e[x1][i]==1&&v[i]==0)            {                int x2=i;v[i]=1;                q.push(x2);                top++;            }        }    }}int main(){    int T,x,y,m,i;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        top=1;        memset(e,0,sizeof(e));        memset(v,0,sizeof(v));        memset(num,0,sizeof(num));        scanf("%d%d",&n,&m);        for(i=0;i<m;i++)        {            scanf("%d%d",&x,&y);            e[x][y]=e[y][x]=1;            num[x]++;num[y]++;        }        v[1]=1;        BFS(1);        if(top==n)        {            int t=1;            for(i=1;i<=n;i++)            {                if(num[i]%2==1)                {                    t=0;                    break;                }            }            if(t==1)                printf("1\n");            else                printf("0\n");        }        else            printf("0\n");    }    return 0;}

//DFS:

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int e[1010][1010],num[1010],v[1010],top=1,n;void DFS(int x){    int i;    for(i=1;i<=n;i++)    {        if(e[x][i]==1&&v[i]==0)        {            v[i]=1;            top++;            DFS(i);        }    }}int main(){    int T,x,y,m,i;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        top=1;        memset(e,0,sizeof(e));        memset(v,0,sizeof(v));        memset(num,0,sizeof(num));        scanf("%d%d",&n,&m);        for(i=0;i<m;i++)        {            scanf("%d%d",&x,&y);            e[x][y]=e[y][x]=1;            num[x]++;num[y]++;        }        v[1]=1;        DFS(1);        if(top==n)        {            int t=1;            for(i=1;i<=n;i++)            {                if(num[i]%2==1)                {                    t=0;                    break;                }            }            if(t==1)            {                printf("1\n");            }            else            {                printf("0\n");            }        }        else        {            printf("0\n");        }    }    return 0;}