[算法与数据结构]

最短路径问题：如果从图中某一顶点(称为源点)到达另一顶点(称为终点)的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小。
三种算法主要用途：

1.  边上权值非负情形的单源最短路径问题 —  Dijkstra算法 

2. 边上权值为任意值的单源最短路径问题 — Bellman和Ford算法

3. 所有顶点之间的最短路径 — Floyd算法

Dijkstra算法：贪心策略

算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，已求出最短路径的顶点集合S和其余未确定最短路径的顶点集合V-S，按最短路径长度的递增次序依次把V-S的顶点加入S中。选择V-S中距离远点路径最短的点v',以v'为中转点更新所有的点的最短路径

起始设置所有点距离源点v的最短路径。如果v'与v相连，那么最短路径就是<v,v'>的长度，否则就是无穷大

#include <iostream>using namespace std;const int MAX =99999999;unsigned int n,e;int arr[100][100];int visited[100] = {0};int dis[100];void Dijkstra(){    for(int i = 1; i<n; i++)    {        int temp = MAX;        int newVec = 0;        for(int j = 1; j<n; j++)        {            if(visited[j]==0&&dis[j]<temp)            {                newVec = j;                temp = dis[j];            }        }        visited[newVec] = 1;        for(int j = 1; j<n; j++)        {            if(visited[j] == 0&&arr[newVec][j]<MAX)            {                if(dis[j]>dis[newVec]+ arr[newVec][j])                {                    dis[j] = dis[newVec]+ arr[newVec][j];                }            }        }    }}int main(){    cin>>n>>e;    if(n>0&&e>0)    {        for(int i=0; i<100; i++)        {            for(int j=0; j<100; j++)            {                if(i!=j)                    arr[i][j] = MAX;                else                    arr[i][j] = 0;            }        }        for(int i=0; i<e; i++)        {            int from,to,dis;            cin>>from>>to>>dis;            arr[from][to] = dis;            //arr[to][from] = dis;        }        /*for(int i=0; i<n; i++)        {            for(int j=0; j<n; j++)            {                cout<<arr[i][j]<<" ";            }            cout<<endl<<endl;        }*/        for(int i = 0; i<n; i++)        {            dis[i] = arr[0][i];        }        /*for(int i = 0; i<n; i++)        {            cout<<distance[i]<<" ";        }*/        cout<<"Dijkstra 最短路："<<endl;        visited[0] = 1;        Dijkstra();        for(int i = 0; i<n; i++)        {            cout<<dis[i]<<" ";        }    }    return 0;}/*5 70 1 100 3 300 4 1001 2 502 4 103 2 203 4 60*/

Bellman-Ford算法：持续松弛操作

什么叫松弛操作呢？在松弛一条边(u,v)的过程中，要测试是否可以通过u，对迄今找到的v的最短路径进行改进；如果可以改进的话，则更新d[v]。

bellman-ford算法是对图进行n-1次松弛操作，如果n-1次松弛操作以后还能继续进行松弛操作，那么说明原图中有负环（即圈的各边总权值为负）

为什么是n-1呢？我们可以确定的是，在一次对所有边进行松弛操作以后，我们至少可以确定一个定点的距离源点的最短路径（最坏可以考虑一条直线，中间有若干点，这种情况一次松弛只能确定一个点距离源点的最短路径。当一个点的连接的点个数超过一时，我们每次松弛确定得点个数大于1，最坏情况就是n-1次松弛确定所有点的最短路径）

那么，算法就很简单了，只有下面几行：

 for(int i = 0;i<n-1;i++)        {            for(int j = 0;j<e;j++)            {                if(distance[edge[j].to]>distance[edge[j].from]+edge[j].val)                {                    distance[edge[j].to] = distance[edge[j].from]+edge[j].val;                }            }        }

完整代码如下：

#include <iostream>#include <stdlib.h>using namespace std;const int MAX =99999999;typedef struct Edge{    int from,to;    int val;}Edge;Edge edge[1000];unsigned int n,e;int dis[100];bool Bellman(){    for(int i = 0;i<n-1;i++)        {            for(int j = 0;j<e;j++)            {                if(dis[edge[j].to]>dis[edge[j].from]+edge[j].val)                {                    dis[edge[j].to] = dis[edge[j].from]+edge[j].val;                }            }        }        bool flag = true;        for(int k = 0 ; k < e;k++)        {            if(dis[edge[k].to]>dis[edge[k].from]+edge[k].val)            {                flag = false;                break;            }        }    return flag;}int main(){    cin>>n>>e;    if(n>0&&e>0)    {        for(int i = 1;i<n;i++)        {            dis[i] = MAX;        }        dis[0] = 0;        for(int i=0; i<e; i++)        {            int from,to,dis;            cin>>from>>to>>dis;            edge[i].from = from;            edge[i].to = to;            edge[i].val = dis;            //arr[to][from] = dis;        }        for(int i = 0; i<e; i++)        {            if(edge[i].from == 0)            {                dis[edge[i].to] = edge[i].val;            }        }        for(int i = 0; i<n; i++)        {            cout<<dis[i]<<" ";        }        cout<<"Bellman-Ford最短路："<<endl;        bool flag = Bellman();        if(flag)        {            for(int i = 0; i<n; i++)            {                cout<<dis[i]<<" ";            }        }        else        {            cout<<"存在负环"<<endl;        }    }    return 0;}/*5 70 1 100 3 300 4 1001 2 502 4 103 2 203 4 605 70 1 100 4 1001 2 502 3 -23 0 -13 4 -64 2 -1*/

Bellman的算法，存在一个问题就是每次都对所有的边进行进行松弛，会浪费一些时间复杂度。比如当我们还没有更新某个次序比较靠后的节点的时候，却会在第二个循环中，考虑用该节点去松弛其余节点。

比较好的改进措施是，我们使用一个队列，每次把刚刚进行松弛操作的节点加入队列中，每次从队列中取出节点去更新其他的节点这就是SPFA算法

void spfa(){    queue<int> myqueue;    while(!myqueue.empty())    {        myqueue.pop();    }    myqueue.push(0);    while(!myqueue.empty())    {        int v = myqueue.front();        visited[v] = 0;        myqueue.pop();        for(int i = 0 ; i<n;i++)        {            if(dis[i]>dis[v]+arr[v][i])            {                dis[i] = dis[v] + arr[v][i];                if(visited[i]!=1)                {                    visited[i] = 1;                    myqueue.push(i);                }            }        }    }}

使用上述spfa函数替代bellman函数即可

Floyd算法：计算图中每个顶点到其余所有顶点的最短路

这个算法时间复杂度为n^3。对于任意节点i,j遍历所有k,找到这样的k,使得以k为中转站的时候，i,j之间的最短路最短

一共三个for循环，算法很好记；前两个for循环用于遍历i,j后面一个for循环用于找到中转站k

核心代码：

    for(int k=0; k<n; k++)        for(int i=0; i<n; i++)            for(int j=0; j<n; j++)                if(arr[i][k]<MAX && arr[k][j]<MAX && arr[i][j]>arr[i][k]+arr[k][j])                    arr[i][j]=arr[i][k]+arr[k][j];

算法实现：

#include <iostream>using namespace std;const int MAX =99999999;unsigned int n,e;int arr[100][100];void floyd(){    for(int k=0; k<n; k++)        for(int i=0; i<n; i++)            for(int j=0; j<n; j++)                if(arr[i][k]<MAX && arr[k][j]<MAX && arr[i][j]>arr[i][k]+arr[k][j])                    arr[i][j]=arr[i][k]+arr[k][j];}int main(){    cin>>n>>e;    if(n>0&&e>0)    {        for(int i=0; i<100; i++)        {            for(int j=0; j<100; j++)            {                if(i!=j)                    arr[i][j] = MAX;                else                    arr[i][j] = 0;            }        }        for(int i=0; i<e; i++)        {            int from,to,dis;            cin>>from>>to>>dis;            arr[from][to] = dis;            arr[to][from] = dis;        }        floyd();        for(int i=0; i<n; i++)        {            for(int j=0; j<n; j++)            {               cout<<arr[i][j]<<" ";            }            cout<<endl;        }        return 0;    }}/*5 70 1 100 3 300 4 1001 2 502 4 103 2 203 4 60*/

文章中有的地方使用的是有向图表达，有的是无向图表达。望注意

P.S.文章不妥之处还望指正