poj1637:Sightseeing tour(混合图欧拉回路，网络流)

传送门

题意：判断混合图是否存在欧拉回路。

真是一道好题。
把该图的无向边随便定向， 计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度= 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。好了，现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2，得x。也就是说，对于每一个点，只要将x 条边改变方向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出=入。如果每个点都是出=入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。

现在的问题就变成了：我该改变哪些边，可以让每个点出=入？构造网络流模型。首先，有向边是不能改变方向的，要之无用，删。一开始不是把无向边定向了吗？定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s 和t 。对于入>出的点u，连接边(u, t) 、容量为x，对于出>入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x 不同）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路， 没有就是没有。欧拉回路是哪个？察看流值分配， 将所有流量非0（上限是1，流值不是0 就是1）的边反向，就能得到每点入度=出度的欧拉图。

由于是满流，所以每个入>出的点，都有x 条边进来，将这些进来的边反向，OK，入=出了。对于出>入的点亦然。那么，没和s、t 连接的点怎么办？和s 连接的条件是出>入，和t 连接的条件是入>出，那么这个既没和s 也没和t 连接的点，自然早在开始就已经满足入=出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。

所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。

由于这道题只判断是否存在，只需判断满流即可。

• Code

#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int Maxn=2e2+50;const int Maxm=5e3+50;const int INF=0x3f3f3f3f;inline int read(){    char ch=getchar();int i=0,f=1;    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}    while(isdigit(ch)){i=(i<<1)+(i<<3)+ch-'0';ch=getchar();}    return i*f; }int n,m,des,cur[Maxn],lev[Maxn],last[Maxn],in[Maxn],out[Maxn],to[Maxm],before[Maxm],cap[Maxm],ecnt=1;inline void add(int x,int y,int c){    before[++ecnt]=last[x];last[x]=ecnt;to[ecnt]=y;cap[ecnt]=c;    before[++ecnt]=last[y];last[y]=ecnt;to[ecnt]=x;cap[ecnt]=0;}inline bool bfs(){    static int que[Maxn],head,tail;    for(int i=0;i<=des;i++)lev[i]=-1,cur[i]=last[i];    que[head=tail=1]=0;lev[0]=0;    while(head<=tail)    {        int now=que[head++];        for(int e=last[now];e;e=before[e])        {            int v=to[e];            if(lev[v]!=-1||cap[e]==0)continue;            lev[v]=lev[now]+1;que[++tail]=v;            if(v==des)return true;        }    }    return false;}inline int dinic(const int &now,const int &flow){    if(now==des)return flow;    int res=0;    for(int &e=cur[now];e;e=before[e])    {        int v=to[e];        if(cap[e]==0||lev[v]<=lev[now])continue;        int o=dinic(v,min(flow-res,cap[e]));        if(o)        {            cap[e]-=o;cap[e^1]+=o;res+=o;            if(res==flow)break;         }     }    if(res!=flow)lev[now]=-1;    return res;}int main(){    int T=read();    while(T--)    {        memset(last,0,sizeof(last));        memset(in,0,sizeof(in));        memset(out,0,sizeof(out));        ecnt=1;        n=read(),m=read();des=n+1;        for(int i=1;i<=m;i++)        {            int x=read(),y=read(),d=read();            in[y]++;out[x]++;            if(!d)add(x,y,1);        }        int ans=0,bz=1,all=0;        for(int i=1;i<=n&&bz;i++)        {            if(in[i]!=out[i])            {                 if(in[i]>out[i])                {                    int t=in[i]-out[i];                    if(t&1)bz=0;                    else add(i,des,t/2),all+=t;                }                else                {                    int t=out[i]-in[i];                    if(t&1)bz=0;                    else add(0,i,t/2);                }            }        }        all/=2;        if(!bz)puts("impossible");        else        {            while(bfs())ans+=dinic(0,INF);            if(ans==all)puts("possible");            else puts("impossible");        }    }}